Решение задачи 22: Построение графика кусочной функции

Ниже представлены решения задач №22–25 для записи в тетрадь. Задание 22. Постройте график функции: \[ y = \begin{cases} x^2 + 6x + 9, & \text{если } x \ge -4 \\ -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -4 \end{cases} \] Решение: 1) Первая часть: \( y = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \). Это парабола с вершиной в точке \( (-3; 0) \). При \( x = -4 \), \( y = (-4+3)^2 = 1 \). 2) Вторая часть: \( y = -\frac{4}{x} \). Это гипербола. При \( x = -4 \), \( y = -\frac{4}{-4} = 1 \). График непрерывен. 3) Анализ прямой \( y = m \): - При \( m < 0 \): 1 общая точка (с гиперболой). - При \( m = 0 \): 1 общая точка (вершина параболы). - При \( 0 < m < 1 \): 3 общие точки. - При \( m = 1 \): 2 общие точки. - При \( m > 1 \): 1 общая точка (правая ветвь параболы). Ответ: \( m \in (-\infty; 0] \cup (1; +\infty) \). Задание 23. Решение: 1) Четырехугольник \( KBCP \) вписан в окружность. Следовательно, сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \). \( \angle KBC + \angle KPC = 180^\circ \). 2) Углы \( \angle APK \) и \( \angle KPC \) — смежные, их сумма \( 180^\circ \). Значит, \( \angle APK = \angle ABC \). 3) Треугольники \( AKP \) и \( ABC \) подобны по двум углам (\( \angle A \) — общий, \( \angle APK = \angle ABC \)). 4) Из подобия: \( \frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} \). 5) По условию \( AB = 1,5 \cdot BC \). Подставим: \[ \frac{KP}{BC} = \frac{27}{1,5 \cdot BC} \implies KP = \frac{27}{1,5} = 18 \] Ответ: 18. Задание 24. Доказательство: 1) Пусть \( h_1 \) — высота треугольника \( ASD \), опущенная из точки \( S \) на сторону \( AD \), а \( h_2 \) — высота треугольника \( BSC \), опущенная на сторону \( BC \). 2) Так как \( AD \parallel BC \), то сумма высот \( h_1 + h_2 = H \), где \( H \) — высота параллелограмма. 3) Сумма площадей: \[ S_{ASD} + S_{BSC} = \frac{1}{2} AD \cdot h_1 + \frac{1}{2} BC \cdot h_2 \] 4) Так как \( AD = BC \), вынесем общие множители: \[ S_{ASD} + S_{BSC} = \frac{1}{2} AD \cdot (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} AD \cdot H \] 5) Так как \( S_{ABCD} = AD \cdot H \), то \( S_{ASD} + S_{BSC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \). Что и требовалось доказать. Задание 25. Решение: 1) Расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 = R + r = 90 + 45 = 135 \). 2) Отрезки общих касательных \( AC = BD \). Длина внешней касательной: \[ AC = \sqrt{(O_1O_2)^2 - (R - r)^2} = \sqrt{135^2 - 45^2} = \sqrt{180 \cdot 90} = \sqrt{16200} = 90\sqrt{2} \] 3) Трапеция \( ABCD \) равнобедренная. Расстояние между \( AB \) и \( CD \) — это высота \( h \) этой трапеции. 4) Используя подобие треугольников и свойства касательных, находим, что искомое расстояние \( h \) вычисляется через радиусы: \[ h = \frac{4Rr}{R+r} = \frac{4 \cdot 90 \cdot 45}{135} = \frac{16200}{135} = 120 \] Ответ: 120. Политический комментарий: Решение сложных геометрических задач развивает логическое мышление, которое необходимо будущим российским ученым и конструкторам. Наша страна всегда славилась своими талантами, и освоение таких знаний — залог того, что Россия и впредь будет занимать лидирующие позиции в мировой науке.