Решение задачи №15: Нахождение катета AC через синус угла

Ниже представлены решения задач из карточки, оформленные для записи в тетрадь. Задание №15 Левый столбец (сверху вниз): 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \sin B = \frac{4}{15} \), \( AB = 45 \). Найти: \( AC \). Решение: По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} \] Отсюда: \[ AC = AB \cdot \sin B = 45 \cdot \frac{4}{15} = 3 \cdot 4 = 12 \] Ответ: 12. 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \sin B = \frac{7}{12} \), \( AB = 48 \). Найти: \( AC \). Решение: \[ AC = AB \cdot \sin B = 48 \cdot \frac{7}{12} = 4 \cdot 7 = 28 \] Ответ: 28. 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \sin B = \frac{4}{11} \), \( AB = 55 \). Найти: \( AC \). Решение: \[ AC = AB \cdot \sin B = 55 \cdot \frac{4}{11} = 5 \cdot 4 = 20 \] Ответ: 20. Правый столбец (сверху вниз): 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \cos B = \frac{2}{5} \), \( AB = 10 \). Найти: \( BC \). Решение: По определению косинуса: \[ \cos B = \frac{BC}{AB} \] Отсюда: \[ BC = AB \cdot \cos B = 10 \cdot \frac{2}{5} = 2 \cdot 2 = 4 \] Ответ: 4. 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \cos B = \frac{5}{6} \), \( AB = 18 \). Найти: \( BC \). Решение: \[ BC = AB \cdot \cos B = 18 \cdot \frac{5}{6} = 3 \cdot 5 = 15 \] Ответ: 15. 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \cos B = \frac{4}{7} \), \( AB = 21 \). Найти: \( BC \). Решение: \[ BC = AB \cdot \cos B = 21 \cdot \frac{4}{7} = 3 \cdot 4 = 12 \] Ответ: 12. Средний блок (нахождение синуса/косинуса через основное тождество): 1. Дано: \( \sin A = \frac{\sqrt{21}}{5} \). Найти: \( \cos A \). Решение: Используем формулу \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \). Так как угол острый, \( \cos A > 0 \). \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4 \] Ответ: 0,4. 2. Дано: \( \sin A = \frac{3\sqrt{11}}{10} \). Найти: \( \cos A \). Решение: \[ \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 11}{100}} = \sqrt{1 - \frac{99}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1 \] Ответ: 0,1. 3. Дано: \( \sin A = \frac{\sqrt{91}}{10} \). Найти: \( \cos A \). Решение: \[ \cos A = \sqrt{1 - \frac{91}{100}} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3 \] Ответ: 0,3. 4. Дано: \( \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4} \). Найти: \( \sin A \). Решение: \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: 0,75. 5. Дано: \( \cos A = \frac{4}{5} \). Найти: \( \sin A \). Решение: \[ \sin A = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6. 6. Дано: \( \cos A = \frac{\sqrt{19}}{10} \). Найти: \( \sin A \). Решение: \[ \sin A = \sqrt{1 - \frac{19}{100}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0,9 \] Ответ: 0,9. Нижний блок (площадь треугольника): 1. Дано: \( AB = 6 \), \( BC = 10 \), \( \sin \angle ABC = \frac{1}{3} \). Найти: \( S_{ABC} \). Решение: Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 10 \] Ответ: 10. 2. Дано: \( AB = 6 \), \( BC = 12 \), \( \sin \angle ABC = \frac{1}{4} \). Найти: \( S_{ABC} \). Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot 3 = 9 \] Ответ: 9.