Решение уравнения (x - 5)^4 - 3(x - 5)^2 - 18 = 0

Решение задачи №20 из представленного текста. Задание: Решите уравнение \((x - 5)^4 - 3(x - 5)^2 - 18 = 0\). Решение: Данное уравнение является биквадратным относительно выражения \((x - 5)\). Для его решения воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть \((x - 5)^2 = t\), где \(t \ge 0\) (так как квадрат любого числа не может быть отрицательным). Тогда исходное уравнение примет вид: \[t^2 - 3t - 18 = 0\] Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\] \[\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9\] Находим корни \(t\): \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Так как по условию замены \(t \ge 0\), корень \(t_2 = -3\) не подходит (посторонний корень). Вернемся к обратной замене для \(t_1 = 6\): \[(x - 5)^2 = 6\] Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[x - 5 = \sqrt{6} \quad \text{или} \quad x - 5 = -\sqrt{6}\] Выразим \(x\): 1) \(x_1 = 5 + \sqrt{6}\) 2) \(x_2 = 5 - \sqrt{6}\) Ответ: \(5 - \sqrt{6}; 5 + \sqrt{6}\).