Решение задачи: какого цвета будет последняя перчатка?

Задача Условие: В мешке находится 28 белых перчаток и 31 чёрная перчатка. Перчатки достают парами. Если достали пару одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней? Решение: Проанализируем, как меняется количество перчаток каждого цвета при каждом шаге: 1. Если достали две белые перчатки: Белых становится на 2 меньше, а чёрных на 1 больше (так как кладут чёрную). Изменение количества белых: \( -2 \). 2. Если достали две чёрные перчатки: Чёрных становится на 2 меньше, но одну возвращают, значит, чёрных становится на 1 меньше. Белых остается столько же. Изменение количества белых: \( 0 \). 3. Если достали одну белую и одну чёрную перчатку: Белую забирают, чёрную забирают, но белую возвращают. В итоге количество белых не меняется, а чёрных становится на 1 меньше. Изменение количества белых: \( 0 \). Заметим важную закономерность: количество белых перчаток либо не меняется, либо уменьшается ровно на 2. Это означает, что четность количества белых перчаток является инвариантом (не меняется). Изначально в мешке было 28 белых перчаток. Число 28 — четное. Следовательно, на любом этапе и в самом конце количество белых перчаток должно оставаться четным. В конце остается только 1 перчатка. Если бы эта перчатка была белой, то количество белых перчаток стало бы равным 1. Но 1 — это нечетное число, что противоречит нашему выводу о сохранении четности. Значит, последняя перчатка не может быть белой. Следовательно, последняя перчатка будет чёрной. (При этом количество белых перчаток в конце станет равным 0, а 0 — число четное, что соответствует условию). Ответ: последняя перчатка будет чёрного цвета.