Решение задачи №61: Определение максимального изгибающего момента

Задача №61 Дано: \( q = 4 \text{ кН/м} \) \( l = 6 \text{ м} \) \( a = 1,5 \text{ м} \) (длина консоли справа) Найти: \( M_{max} \) — изгибающий момент в опасном сечении. Решение: 1. Обозначим левую опору как \( A \), правую как \( B \). На балку действует распределенная нагрузка \( q \) на всей длине \( L = l + a = 7,5 \text{ м} \). Равнодействующая нагрузки: \( Q = q \cdot (l + a) = 4 \cdot 7,5 = 30 \text{ кН} \). Она приложена в центре всей балки, то есть на расстоянии \( 3,75 \text{ м} \) от левого края. 2. Найдем реакцию правой опоры \( R_B \), составив уравнение моментов относительно точки \( A \): \[ \sum M_A = 0 \] \[ R_B \cdot l - q \cdot \frac{(l+a)^2}{2} = 0 \] \[ R_B \cdot 6 - 4 \cdot \frac{7,5^2}{2} = 0 \] \[ 6 R_B - 112,5 = 0 \Rightarrow R_B = 18,75 \text{ кН} \] 3. Найдем реакцию левой опоры \( R_A \): \[ R_A = Q - R_B = 30 - 18,75 = 11,25 \text{ кН} \] 4. Опасное сечение находится там, где поперечная сила \( Q_y = 0 \). Рассмотрим участок между опорами \( (0 \le x \le 6) \): \[ Q_y(x) = R_A - q \cdot x = 0 \] \[ 11,25 - 4x = 0 \Rightarrow x_0 = 2,8125 \text{ м} \] 5. Вычислим максимальный изгибающий момент в этом сечении (пролетный момент): \[ M_{max} = R_A \cdot x_0 - \frac{q \cdot x_0^2}{2} \] \[ M_{max} = 11,25 \cdot 2,8125 - \frac{4 \cdot 2,8125^2}{2} \] \[ M_{max} = 31,640625 - 15,8203125 = 15,8203125 \text{ кН}\cdot\text{м} \] 6. Проверим момент на правой опоре (опорный момент): \[ M_B = -\frac{q \cdot a^2}{2} = -\frac{4 \cdot 1,5^2}{2} = -4,5 \text{ кН}\cdot\text{м} \] Сравнивая значения по модулю, видим, что максимальный (опасный) момент возникает в пролете и равен \( 15,82 \text{ кН}\cdot\text{м} \). В инженерных задачах такого типа обычно требуется округление до сотых или десятых. Ответ: 15,82