Решение задачи С1: Анализ сил аналитическим и графо-аналитическим способами

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown. Задача С1. На схеме показаны системы сил \(\{\vec{Q}, \vec{Q}', \vec{P}, \vec{F}\}\) в прямоугольной системе координат. Геометрические размеры \(a, b\) и углы \(\alpha, \beta\) - известны. Требуется найти проекции всех сил на оси координат и моменты этих сил относительно осей координат \(Oxyz\) двумя способами: - аналитическим - графо-аналитическим. --- Решение. Для удобства обозначим начало координат \(O\) в левом нижнем углу параллелепипеда, как показано на рисунке. Оси \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) направлены вдоль рёбер. 1. Аналитический способ. Определим координаты точек приложения сил и их направления. Пусть \(A\) - точка приложения силы \(\vec{P}\), \(B\) - точка приложения силы \(\vec{Q}\), \(C\) - точка приложения силы \(\vec{Q}'\), \(D\) - точка приложения силы \(\vec{F}\). Координаты вершин параллелепипеда: \(O = (0, 0, 0)\) Вершина по оси \(Ox\): \((a, 0, 0)\) Вершина по оси \(Oy\): \((0, a, 0)\) Вершина по оси \(Oz\): \((0, 0, b)\) Вершина, где приложена сила \(\vec{P}\): \((a, a, 0)\) Вершина, где приложена сила \(\vec{Q}\): \((0, a, 0)\) Вершина, где приложена сила \(\vec{Q}'\): \((a, 0, b)\) Вершина, где приложена сила \(\vec{F}\): \((a, a, b)\) Представим каждую силу в векторной форме. 1. Сила \(\vec{P}\). Приложена в точке \(A = (a, a, 0)\). Направлена вдоль оси \(Ox\) в отрицательном направлении. \(\vec{P} = (-P, 0, 0)\). Проекции силы \(\vec{P}\) на оси координат: \(P_x = -P\) \(P_y = 0\) \(P_z = 0\) Моменты силы \(\vec{P}\) относительно осей координат: Момент силы относительно оси \(Ox\): \(M_x(\vec{P}) = y P_z - z P_y = a \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\) Момент силы относительно оси \(Oy\): \(M_y(\vec{P}) = z P_x - x P_z = 0 \cdot (-P) - a \cdot 0 = 0\) Момент силы относительно оси \(Oz\): \(M_z(\vec{P}) = x P_y - y P_x = a \cdot 0 - a \cdot (-P) = aP\) 2. Сила \(\vec{Q}\). Приложена в точке \(B = (0, a, 0)\). Направлена вдоль оси \(Oy\) в отрицательном направлении. \(\vec{Q} = (0, -Q, 0)\). Проекции силы \(\vec{Q}\) на оси координат: \(Q_x = 0\) \(Q_y = -Q\) \(Q_z = 0\) Моменты силы \(\vec{Q}\) относительно осей координат: Момент силы относительно оси \(Ox\): \(M_x(\vec{Q}) = y Q_z - z Q_y = a \cdot 0 - 0 \cdot (-Q) = 0\) Момент силы относительно оси \(Oy\): \(M_y(\vec{Q}) = z Q_x - x Q_z = 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\) Момент силы относительно оси \(Oz\): \(M_z(\vec{Q}) = x Q_y - y Q_x = 0 \cdot (-Q) - a \cdot 0 = 0\) 3. Сила \(\vec{Q}'\). Приложена в точке \(C = (a, 0, b)\). Направлена вдоль оси \(Oz\) в отрицательном направлении. \(\vec{Q}' = (0, 0, -Q')\). Проекции силы \(\vec{Q}'\) на оси координат: \(Q'_x = 0\) \(Q'_y = 0\) \(Q'_z = -Q'\) Моменты силы \(\vec{Q}'\) относительно осей координат: Момент силы относительно оси \(Ox\): \(M_x(\vec{Q}') = y Q'_z - z Q'_y = 0 \cdot (-Q') - b \cdot 0 = 0\) Момент силы относительно оси \(Oy\): \(M_y(\vec{Q}') = z Q'_x - x Q'_z = b \cdot 0 - a \cdot (-Q') = aQ'\) Момент силы относительно оси \(Oz\): \(M_z(\vec{Q}') = x Q'_y - y Q'_x = a \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\) 4. Сила \(\vec{F}\). Приложена в точке \(D = (a, a, b)\). Направлена вдоль диагонали верхней грани, параллельной плоскости \(Oxy\). Угол \(\alpha\) - угол между \(\vec{F}\) и осью \(Ox\). Угол \(\beta\) - угол между \(\vec{F}\) и осью \(Oy\). Из рисунка видно, что сила \(\vec{F}\) лежит в плоскости \(z=b\). Проекция на ось \(Oz\) равна 0. Направление силы \(\vec{F}\) показано так, что она направлена в сторону уменьшения \(x\) и уменьшения \(y\). Тогда: \(F_x = -F \cos \alpha\) \(F_y = -F \sin \alpha\) (если \(\alpha\) - угол с осью \(Ox\)) Или, если \(\alpha\) - угол с осью \(Ox\), а \(\beta\) - угол с осью \(Oy\), то: \(F_x = -F \cos \alpha\) \(F_y = -F \cos \beta\) При этом \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1\) для силы в плоскости. На рисунке \(\alpha\) и \(\beta\) показаны как углы между силой \(\vec{F}\) и соответствующими осями. \(\vec{F} = (-F \cos \alpha, -F \cos \beta, 0)\). Проекции силы \(\vec{F}\) на оси координат: \(F_x = -F \cos \alpha\) \(F_y = -F \cos \beta\) \(F_z = 0\) Моменты силы \(\vec{F}\) относительно осей координат: Момент силы относительно оси \(Ox\): \(M_x(\vec{F}) = y F_z - z F_y = a \cdot 0 - b \cdot (-F \cos \beta) = b F \cos \beta\) Момент силы относительно оси \(Oy\): \(M_y(\vec{F}) = z F_x - x F_z = b \cdot (-F \cos \alpha) - a \cdot 0 = -b F \cos \alpha\) Момент силы относительно оси \(Oz\): \(M_z(\vec{F}) = x F_y - y F_x = a \cdot (-F \cos \beta) - a \cdot (-F \cos \alpha) = a F (\cos \alpha - \cos \beta)\) Сводная таблица проекций и моментов (аналитический способ):

Сила	\(F_x\)	\(F_y\)	\(F_z\)	\(M_x\)	\(M_y\)	\(M_z\)
\(\vec{P}\)	\(-P\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(aP\)
\(\vec{Q}\)	\(0\)	\(-Q\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(\vec{Q}'\)	\(0\)	\(0\)	\(-Q'\)	\(0\)	\(aQ'\)	\(0\)
\(\vec{F}\)	\(-F \cos \alpha\)	\(-F \cos \beta\)	\(0\)	\(b F \cos \beta\)	\(-b F \cos \alpha\)	\(a F (\cos \alpha - \cos \beta)\)

2. Графо-аналитический способ. Графо-аналитический способ предполагает использование графических построений для определения плеч сил и направлений моментов, а затем аналитического расчета величин. Проекции сил: Проекции сил на оси координат определяются так же, как и в аналитическом способе, поскольку они зависят только от угла между силой и осью. Графически можно построить вектор силы и опустить перпендикуляры на оси, чтобы увидеть проекции. Моменты сил: Момент силы относительно оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (плечо силы), умноженному на знак, определяемый правилом буравчика. 1. Сила \(\vec{P}\). Линия действия силы \(\vec{P}\) параллельна оси \(Ox\). \(M_x(\vec{P}) = 0\). Плечо относительно оси \(Oy\): линия действия силы \(\vec{P}\) пересекает ось \(Oy\) в точке \((0, a, 0)\). Нет, это не так. Линия действия силы \(\vec{P}\) проходит через точку \((a, a, 0)\) и параллельна оси \(Ox\). Плечо относительно оси \(Oy\) - это расстояние от оси \(Oy\) до линии действия силы. Это расстояние равно \(a\) (координата \(y\) точки приложения). Направление: если смотреть с положительного направления оси \(Oy\), сила \(\vec{P}\) (направленная влево) вращает против часовой стрелки. \(M_y(\vec{P}) = 0\). (Линия действия силы \(\vec{P}\) лежит в плоскости \(z=0\), которая содержит ось \(Oy\). Нет, это не так. Линия действия силы \(\vec{P}\) параллельна оси \(Ox\). Плечо относительно оси \(Oy\) - это расстояние от оси \(Oy\) до линии действия силы. Это расстояние равно \(a\) (координата \(z\) точки приложения, если бы сила была в плоскости \(xz\)). Давайте перепроверим. Линия действия \(\vec{P}\) проходит через \((a, a, 0)\) и параллельна \(Ox\). Плечо относительно \(Oy\): расстояние от \(Oy\) до линии \(y=a, z=0\). Это расстояние равно \(a\). Направление: если смотреть с положительного направления оси \(Oy\), сила \(\vec{P}\) (направленная в отрицательном направлении \(Ox\)) вращает против часовой стрелки. \(M_y(\vec{P}) = 0\). (Это ошибка в предыдущем аналитическом расчете, или я неправильно интерпретирую рисунок). Давайте еще раз. \(\vec{P} = (-P, 0, 0)\) приложена в \((a, a, 0)\). \(M_x(\vec{P}) = y P_z - z P_y = a \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\). Верно. \(M_y(\vec{P}) = z P_x - x P_z = 0 \cdot (-P) - a \cdot 0 = 0\). Верно. \(M_z(\vec{P}) = x P_y - y P_x = a \cdot 0 - a \cdot (-P) = aP\). Верно. Графо-аналитически: \(M_x(\vec{P})\): Линия действия \(\vec{P}\) параллельна \(Ox\), значит, \(M_x(\vec{P}) = 0\). \(M_y(\vec{P})\): Линия действия \(\vec{P}\) лежит в плоскости \(z=0\). Ось \(Oy\) также лежит в плоскости \(z=0\). Линия действия \(\vec{P}\) параллельна \(Ox\). Плечо относительно \(Oy\) - это расстояние от оси \(Oy\) до линии \(y=a, z=0\). Это расстояние равно \(a\). Направление: если смотреть с положительного направления оси \(Oy\), сила \(\vec{P}\) (направленная в отрицательном направлении \(Ox\)) вращает против часовой стрелки. \(M_y(\vec{P}) = 0\). Это означает, что линия действия силы \(\vec{P}\) пересекает ось \(Oy\) или параллельна ей. Линия действия \(\vec{P}\) - это прямая, проходящая через \((a, a, 0)\) и параллельная \(Ox\). То есть, это прямая \(y=a, z=0\). Ось \(Oy\) - это прямая \(x=0, z=0\). Эти две прямые параллельны плоскости \(Oxy\). Они не пересекаются. Расстояние между ними: \(a\). Момент относительно \(Oy\): \(P \cdot a\). Направление: если смотреть с положительного направления оси \(Oy\), сила \(\vec{P}\) (направленная в отрицательном направлении \(Ox\)) вращает против часовой стрелки. Значит, \(M_y(\vec{P}) = -Pa\). Это расхождение с аналитическим методом. Давайте проверим аналитический метод. \(M_y(\vec{P}) = z P_x - x P_z\). Точка приложения \((x, y, z) = (a, a, 0)\). Проекции силы \((P_x, P_y, P_z) = (-P, 0, 0)\). \(M_y(\vec{P}) = 0 \cdot (-P) - a \cdot 0 = 0\). Аналитический метод верен. Значит, я неправильно определил плечо или направление для графо-аналитического метода. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось или параллельна ей. Линия действия \(\vec{P}\) (прямая \(y=a, z=0\)) не пересекает ось \(Oy\) (прямая \(x=0, z=0\)). Они скрещиваются. Они не параллельны. Ось \(Oy\) параллельна оси \(Oy\). Линия действия \(\vec{P}\) параллельна оси \(Ox\). Они перпендикулярны. Момент силы относительно оси \(Oy\) - это момент силы относительно точки \(O\) (начала координат) спроецированный на ось \(Oy\). \(\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{P}\) \(\vec{r} = (a, a, 0)\) \(\vec{P} = (-P, 0, 0)\) \[ \vec{M}_O = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & a & 0 \\ -P & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot 0 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(a \cdot 0 - 0 \cdot (-P)) + \vec{k}(a \cdot 0 - a \cdot (-P)) = 0 \vec{i} - 0 \vec{j} + aP \vec{k} = (0, 0, aP) \] Тогда \(M_x(\vec{P}) = 0\), \(M_y(\vec{P}) = 0\), \(M_z(\vec{P}) = aP\). Аналитический метод верен. Моя интерпретация графо-аналитического метода была ошибочной. Графо-аналитический метод: Момент силы относительно оси \(L\) равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси \(L\), относительно точки пересечения оси \(L\) с этой плоскостью. Или, момент силы относительно оси равен моменту силы относительно любой точки на этой оси