Задача С5: Определение реакций опор А и В

Задача № С5. Плоская конструкция состоит из двух тел 1 и 2, которые соединены между собой при помощи шарнира С. Определить реакции опор А и В, если \(a = 1\) м, \(\alpha = 30^\circ\). \(F = 4\) кН; \(M = 2\) кНм; \(q = 2\) кН/м.

Решение:

1. Исходные данные:

• Длина \(a = 1\) м
• Угол \(\alpha = 30^\circ\)
• Сила \(F = 4\) кН
• Момент \(M = 2\) кНм
• Распределенная нагрузка \(q = 2\) кН/м

2. Разделение конструкции на части и определение реакций:

Разделим конструкцию на две части, разрезав шарнир С. В шарнире С возникают две реакции: \(X_C\) и \(Y_C\).

Рассмотрим тело 2:

Тело 2 представляет собой стержень, закрепленный в точке В шарнирно-неподвижной опорой и соединенный с телом 1 шарниром С. На тело 2 действуют:

• Реакции шарнира С: \(X_C\) и \(Y_C\)
• Реакции опоры В: \(X_B\) и \(Y_B\)
• Сила \(F\)

Длины участков: Длина участка от В до точки приложения силы F: \(d\) Длина участка от В до С: \(d'\) Из рисунка видно, что \(d = a \cdot \cos \alpha\) и \(d' = 2a \cdot \cos \alpha\). Однако, на рисунке указаны вертикальные размеры \(d\) и \(d'\) как расстояния от точки B до точки приложения силы F и до точки C соответственно. Из геометрии: Вертикальное расстояние от B до точки приложения F: \(d = a \cdot \sin \alpha\) Вертикальное расстояние от B до C: \(d' = 2a \cdot \sin \alpha\) Горизонтальное расстояние от B до точки приложения F: \(a \cdot \cos \alpha\) Горизонтальное расстояние от B до C: \(2a \cdot \cos \alpha\)
Составим уравнения равновесия для тела 2:
Сумма проекций всех сил на ось X: \[\sum F_x = 0: \quad X_B + X_C - F \cdot \sin \alpha = 0\] (Предполагаем, что сила F направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, как показано на рисунке, то есть ее горизонтальная составляющая \(F \cdot \sin \alpha\))
Сумма проекций всех сил на ось Y: \[\sum F_y = 0: \quad Y_B + Y_C - F \cdot \cos \alpha = 0\] (Вертикальная составляющая силы F: \(F \cdot \cos \alpha\))
Сумма моментов относительно точки В: \[\sum M_B = 0: \quad Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha) - X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha) - F \cdot \cos \alpha \cdot (a \cdot \cos \alpha) - F \cdot \sin \alpha \cdot (a \cdot \sin \alpha) = 0\] \[\sum M_B = 0: \quad Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha) - X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha) - F \cdot a \cdot (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 0\] \[\sum M_B = 0: \quad Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha) - X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha) - F \cdot a = 0\] Подставим значения: \(a = 1\) м, \(\alpha = 30^\circ\), \(F = 4\) кН. \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). \[Y_C \cdot (2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - X_C \cdot (2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 = 0\] \[Y_C \cdot \sqrt{3} - X_C - 4 = 0 \quad (1)\]

Рассмотрим тело 1:

Тело 1 представляет собой балку, закрепленную в точке А шарнирно-неподвижной опорой и соединенную с телом 2 шарниром С. На тело 1 действуют:

• Реакции опоры А: \(X_A\) и \(Y_A\)
• Реакции шарнира С: \(-X_C\) и \(-Y_C\) (по третьему закону Ньютона)
• Распределенная нагрузка \(q\)
• Момент \(M\)

Длина участка от А до С: \(4a\). Распределенная нагрузка \(q\) действует на всем участке \(4a\). Эквивалентная сосредоточенная сила от распределенной нагрузки: \(Q = q \cdot (4a)\). Точка приложения силы \(Q\) находится в середине участка, то есть на расстоянии \(2a\) от А. На рисунке распределенная нагрузка \(q\) действует перпендикулярно стержню. Угол наклона стержня 1 к горизонтали равен \(\alpha\).
Составим уравнения равновесия для тела 1:
Сумма проекций всех сил на ось X: \[\sum F_x = 0: \quad X_A - X_C - Q \cdot \sin \alpha = 0\] (Горизонтальная составляющая от распределенной нагрузки \(Q \cdot \sin \alpha\))
Сумма проекций всех сил на ось Y: \[\sum F_y = 0: \quad Y_A - Y_C - Q \cdot \cos \alpha = 0\] (Вертикальная составляющая от распределенной нагрузки \(Q \cdot \cos \alpha\))
Сумма моментов относительно точки А: \[\sum M_A = 0: \quad -Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha) + X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha) - M - Q \cdot (2a) = 0\] (Момент от \(Y_C\) относительно А: \(Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\) - против часовой стрелки, поэтому минус. Момент от \(X_C\) относительно А: \(X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha)\) - по часовой стрелке, поэтому плюс. Момент \(M\) - по часовой стрелке, поэтому минус. Момент от \(Q\) относительно А: \(Q \cdot (2a)\) - по часовой стрелке, поэтому минус.)
Подставим значения: \(a = 1\) м, \(\alpha = 30^\circ\), \(q = 2\) кН/м, \(M = 2\) кНм. \(Q = q \cdot (4a) = 2 \cdot (4 \cdot 1) = 8\) кН. \[-Y_C \cdot (4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + X_C \cdot (4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) - 2 - 8 \cdot (2 \cdot 1) = 0\] \[-Y_C \cdot 2\sqrt{3} + X_C \cdot 2 - 2 - 16 = 0\] \[-Y_C \cdot 2\sqrt{3} + 2X_C - 18 = 0\] \[-Y_C \cdot \sqrt{3} + X_C - 9 = 0 \quad (2)\]

3. Решение системы уравнений для \(X_C\) и \(Y_C\):

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(X_C\) и \(Y_C\): 1) \(Y_C \cdot \sqrt{3} - X_C - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad X_C = Y_C \cdot \sqrt{3} - 4\) 2) \(-Y_C \cdot \sqrt{3} + X_C - 9 = 0\) Подставим выражение для \(X_C\) из (1) в (2): \[-Y_C \cdot \sqrt{3} + (Y_C \cdot \sqrt{3} - 4) - 9 = 0\] \[-Y_C \cdot \sqrt{3} + Y_C \cdot \sqrt{3} - 4 - 9 = 0\] \[-13 = 0\] Получилось противоречие. Это означает, что где-то ошибка в составлении уравнений или в интерпретации рисунка. Давайте перепроверим моменты и направления сил.
Пересмотрим моменты для тела 1 относительно точки А. Распределенная нагрузка \(q\) действует перпендикулярно стержню. Эквивалентная сосредоточенная сила \(Q = q \cdot (4a)\) также действует перпендикулярно стержню. Плечо для силы \(Q\) относительно точки А равно \(2a\). Момент \(Q \cdot (2a)\) будет по часовой стрелке. Реакции шарнира С: \(-X_C\) и \(-Y_C\). Координаты точки С относительно А: \(x_C = 4a \cdot \cos \alpha\), \(y_C = 4a \cdot \sin \alpha\). Момент от \(-X_C\) относительно А: \(-X_C \cdot y_C = -X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha)\). Если \(X_C\) направлен вправо, то \(-X_C\) влево. Момент от \(-X_C\) будет по часовой стрелке. Момент от \(-Y_C\) относительно А: \(-Y_C \cdot x_C = -Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\). Если \(Y_C\) направлен вверх, то \(-Y_C\) вниз. Момент от \(-Y_C\) будет по часовой стрелке.
Но на рисунке показано, что стержень 1 наклонен под углом \(\alpha\) к горизонтали. Распределенная нагрузка \(q\) действует перпендикулярно стержню. Момент от \(Q\) относительно А: \(Q \cdot (2a)\). Момент от \(-X_C\) относительно А: \(-X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha)\). Момент от \(-Y_C\) относительно А: \(-Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\).
Давайте пересмотрим знаки моментов. Примем положительное направление моментов против часовой стрелки.

Пересмотрим тело 1:

Сумма моментов относительно точки А: \[\sum M_A = 0: \quad M_{Q} + M_{M} + M_{X_C} + M_{Y_C} = 0\] Момент от \(Q\): \(Q = q \cdot (4a) = 2 \cdot 4 = 8\) кН. Плечо для \(Q\) относительно А равно \(2a\). Момент \(Q \cdot (2a) = 8 \cdot 2 = 16\) кНм. По часовой стрелке, значит \(-16\). Момент \(M\): \(M = 2\) кНм. По часовой стрелке, значит \(-2\). Реакции шарнира С: \(-X_C\) и \(-Y_C\). Координаты точки С относительно А: \(x_C = 4a \cdot \cos \alpha\), \(y_C = 4a \cdot \sin \alpha\). Момент от \(-X_C\): \(-X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha)\). Если \(X_C\) вправо, то \(-X_C\) влево. Момент по часовой стрелке, значит \(-X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha)\). Момент от \(-Y_C\): \(-Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\). Если \(Y_C\) вверх, то \(-Y_C\) вниз. Момент по часовой стрелке, значит \(-Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\).
Тогда уравнение моментов для тела 1: \[\sum M_A = 0: \quad -16 - 2 - X_C \cdot (4a \cdot \sin \alpha) - Y_C \cdot (4a \cdot \cos \alpha) = 0\] \[-18 - X_C \cdot (4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) - Y_C \cdot (4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0\] \[-18 - 2X_C - 2\sqrt{3}Y_C = 0\] \[2X_C + 2\sqrt{3}Y_C + 18 = 0\] \[X_C + \sqrt{3}Y_C + 9 = 0 \quad (2')\]

Пересмотрим тело 2:

Сумма моментов относительно точки В: \[\sum M_B = 0: \quad M_{F} + M_{X_C} + M_{Y_C} = 0\] Сила \(F = 4\) кН. Координаты точки приложения силы F относительно В: \(x_F = a \cdot \cos \alpha\), \(y_F = a \cdot \sin \alpha\). Момент от \(F\): \(F \cdot a\). На рисунке сила F направлена под углом к вертикали. Горизонтальная составляющая \(F_x = F \cdot \sin \alpha\). Вертикальная составляющая \(F_y = F \cdot \cos \alpha\). Момент от \(F_x\) относительно В: \(F_x \cdot y_F = F \cdot \sin \alpha \cdot (a \cdot \sin \alpha)\). По часовой стрелке, значит \(-F \cdot a \cdot \sin^2 \alpha\). Момент от \(F_y\) относительно В: \(F_y \cdot x_F = F \cdot \cos \alpha \cdot (a \cdot \cos \alpha)\). По часовой стрелке, значит \(-F \cdot a \cdot \cos^2 \alpha\). Суммарный момент от \(F\): \(-F \cdot a \cdot (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = -F \cdot a = -4 \cdot 1 = -4\) кНм.
Реакции шарнира С: \(X_C\) и \(Y_C\). Координаты точки С относительно В: \(x_C = 2a \cdot \cos \alpha\), \(y_C = 2a \cdot \sin \alpha\). Момент от \(X_C\): \(X_C \cdot y_C = X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha)\). Если \(X_C\) вправо, то момент против часовой стрелки, значит \(+X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha)\). Момент от \(Y_C\): \(Y_C \cdot x_C = Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha)\). Если \(Y_C\) вверх, то момент против часовой стрелки, значит \(+Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha)\).
Тогда уравнение моментов для тела 2: \[\sum M_B = 0: \quad -4 + X_C \cdot (2a \cdot \sin \alpha) + Y_C \cdot (2a \cdot \cos \alpha) = 0\] \[-4 + X_C \cdot (2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) + Y_C \cdot (2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0\] \[-4 + X_C + Y_C \cdot \sqrt{3} = 0\] \[X_C + \sqrt{3}Y_C - 4 = 0 \quad (1')\]

4. Решение новой системы уравнений для \(X_C\) и \(Y_C\):

1') \(X_C + \sqrt{3}Y_C - 4 = 0\) 2') \(X_C + \sqrt{3}Y_C + 9 = 0\) Вычтем (1') из (2'): \[(X_C + \sqrt{3}Y_C + 9) - (X_C + \sqrt{3}Y_C - 4) = 0\] \[X_C + \