Задача: Один электрический нагреватель при подключении к источнику с напряжением \(U\) выделяет количество теплоты \(Q\) за 12 мин. За какое время выделит такое же количество теплоты два таких нагревателя, подключенных параллельно источнику с тем же напряжением?
Дано:
- Напряжение источника: \(U\).
- Количество теплоты: \(Q\).
- Время для одного нагревателя: \(t_1 = 12\) мин.
- Количество нагревателей: 2.
- Подключение: параллельное.
Найти: Время \(t_2\), за которое два нагревателя, подключенные параллельно, выделят то же количество теплоты \(Q\).
Решение:
Количество теплоты, выделяемое электрическим нагревателем, определяется законом Джоуля-Ленца. Формула для количества теплоты \(Q\) через напряжение \(U\), сопротивление \(R\) и время \(t\) выглядит так:
\[Q = \frac{U^2}{R} t\]Шаг 1: Определим сопротивление одного нагревателя.
Для одного нагревателя мы знаем, что за время \(t_1 = 12\) мин выделяется количество теплоты \(Q\). Пусть сопротивление одного нагревателя равно \(R\).
\[Q = \frac{U^2}{R} t_1\]Отсюда мы можем выразить отношение \(U^2/R\):
\[\frac{U^2}{R} = \frac{Q}{t_1}\]Это выражение представляет собой мощность одного нагревателя.
Шаг 2: Определим общее сопротивление двух нагревателей, подключенных параллельно.
Когда два одинаковых нагревателя с сопротивлением \(R\) каждый подключены параллельно, их общее сопротивление \(R_{общ}\) рассчитывается по формуле:
\[\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R}\] \[\frac{1}{R_{общ}} = \frac{2}{R}\]Следовательно:
\[R_{общ} = \frac{R}{2}\]Шаг 3: Определим время \(t_2\) для двух параллельно подключенных нагревателей.
Два нагревателя, подключенные параллельно к тому же источнику напряжения \(U\), должны выделить то же количество теплоты \(Q\). Используем ту же формулу для количества теплоты, но с общим сопротивлением \(R_{общ}\) и искомым временем \(t_2\):
\[Q = \frac{U^2}{R_{общ}} t_2\]Подставим \(R_{общ} = R/2\):
\[Q = \frac{U^2}{R/2} t_2\] \[Q = \frac{2U^2}{R} t_2\]Теперь у нас есть два выражения для \(Q\):
1) \(Q = \frac{U^2}{R} t_1\)
2) \(Q = \frac{2U^2}{R} t_2\)
Приравняем эти два выражения, так как количество теплоты одинаково:
\[\frac{U^2}{R} t_1 = \frac{2U^2}{R} t_2\]Мы можем сократить \(\frac{U^2}{R}\) с обеих сторон уравнения:
\[t_1 = 2 t_2\]Теперь выразим \(t_2\):
\[t_2 = \frac{t_1}{2}\]Подставим значение \(t_1 = 12\) мин:
\[t_2 = \frac{12 \text{ мин}}{2}\] \[t_2 = 6 \text{ мин}\]Ответ:
Два таких нагревателя, подключенных параллельно источнику с тем же напряжением, выделят такое же количество теплоты за 6 минут.