Задача: Проводник с током имеет форму, представленную на рисунке, с меняющейся площадью поперечного сечения. Как соотносятся между собой плотности тока на различных участках?
Дано:
- Проводник, состоящий из трех участков с площадями поперечного сечения \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\).
- Из рисунка видно, что \(S_1 < S_2 < S_3\).
- По проводнику течет ток.
Найти:
- Соотношение между плотностями тока \(j_1\), \(j_2\), \(j_3\) на этих участках.
Решение:
1. Вспомним определение плотности тока \(j\). Плотность тока — это отношение силы тока \(I\) к площади поперечного сечения \(S\), через которое этот ток протекает:
\[j = \frac{I}{S}\]2. Поскольку проводник является единым целым и ток течет через него последовательно, то сила тока \(I\) во всех участках проводника будет одинаковой (закон сохранения заряда).
То есть, \(I_1 = I_2 = I_3 = I\).
3. Теперь запишем выражения для плотности тока на каждом участке:
- Для первого участка с площадью \(S_1\): \[j_1 = \frac{I}{S_1}\]
- Для второго участка с площадью \(S_2\): \[j_2 = \frac{I}{S_2}\]
- Для третьего участка с площадью \(S_3\): \[j_3 = \frac{I}{S_3}\]
4. Из рисунка видно, что площади поперечного сечения соотносятся как \(S_1 < S_2 < S_3\).
5. Поскольку сила тока \(I\) одинакова для всех участков, то плотность тока будет обратно пропорциональна площади поперечного сечения. Это означает, что чем меньше площадь сечения, тем больше плотность тока, и наоборот.
Следовательно:
- На участке с наименьшей площадью \(S_1\) будет наибольшая плотность тока \(j_1\).
- На участке со средней площадью \(S_2\) будет средняя плотность тока \(j_2\).
- На участке с наибольшей площадью \(S_3\) будет наименьшая плотность тока \(j_3\).
6. Таким образом, соотношение между плотностями тока будет:
\[j_1 > j_2 > j_3\]Или, если записать в виде пропорции, как в вариантах ответа, то плотности тока будут обратно пропорциональны площадям:
\[j_1 : j_2 : j_3 = \frac{1}{S_1} : \frac{1}{S_2} : \frac{1}{S_3}\]Это эквивалентно тому, что \(j_1 S_1 = j_2 S_2 = j_3 S_3 = I\).
Среди предложенных вариантов ответа, нужно найти тот, который отражает это соотношение. Варианты ответа представлены в виде пропорций. Давайте посмотрим на них внимательно.
Один из вариантов ответа: \(j_1 : j_2 : j_3 = S_3 : S_2 : S_1\).
Это означает, что \(j_1\) пропорционально \(S_3\), \(j_2\) пропорционально \(S_2\), \(j_3\) пропорционально \(S_1\).
Если \(j_1 = k \cdot S_3\), \(j_2 = k \cdot S_2\), \(j_3 = k \cdot S_1\), где \(k\) — коэффициент пропорциональности.
Поскольку \(S_3 > S_2 > S_1\), то \(j_1 > j_2 > j_3\). Это соответствует нашему выводу.
Ответ: \(j_1 : j_2 : j_3 = S_3 : S_2 : S_1\).