Решение неопределенных интегралов

Хорошо, я помогу вам решить эти неопределенные интегралы. Буду решать по порядку, как они представлены на изображении. IX. Найти неопределённые интегралы. 1. \[ \int \frac{xdx}{e^{3x^2+4}} \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int x e^{-(3x^2+4)} dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = -3x^2 - 4 \). Тогда \( du = -6x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{6} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{6}\right) du = -\frac{1}{6} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{6} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{6} e^{-(3x^2+4)} + C \] Или: \[ -\frac{1}{6e^{3x^2+4}} + C \] 2. \[ \int \frac{xdx}{e^{x^2+3}} \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int x e^{-(x^2+3)} dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = -x^2 - 3 \). Тогда \( du = -2x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{2} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{2} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{2} e^{-(x^2+3)} + C \] Или: \[ -\frac{1}{2e^{x^2+3}} + C \] 3. \[ \int \frac{x^2 dx}{e^{x^3+1}} \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int x^2 e^{-(x^3+1)} dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = -x^3 - 1 \). Тогда \( du = -3x^2 dx \), откуда \( x^2 dx = -\frac{1}{3} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{3} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{3} e^{-(x^3+1)} + C \] Или: \[ -\frac{1}{3e^{x^3+1}} + C \] 4. \[ \int e^{\cos x} \sin x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( du = -\sin x dx \), откуда \( \sin x dx = -du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u (-du) = - \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -e^{\cos x} + C \] 5. \[ \int e^{2x^3-x^2} (6x^2-2x) dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 2x^3 - x^2 \). Тогда \( du = (6x^2 - 2x) dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{2x^3-x^2} + C \] 6. \[ \int \frac{\sin x}{e^{\cos x}} dx \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int e^{-\cos x} \sin x dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = -\cos x \). Тогда \( du = -(-\sin x) dx = \sin x dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{-\cos x} + C \] Или: \[ \frac{1}{e^{\cos x}} + C \] 7. \[ \int e^{7x^2+2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 7x^2 + 2 \). Тогда \( du = 14x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{14} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(\frac{1}{14}\right) du = \frac{1}{14} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ \frac{1}{14} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ \frac{1}{14} e^{7x^2+2} + C \] 8. \[ \int e^{3-x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 3 - x^2 \). Тогда \( du = -2x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{2} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{2} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{2} e^{3-x^2} + C \] 9. \[ \int e^{4x^2+5} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 4x^2 + 5 \). Тогда \( du = 8x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{8} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(\frac{1}{8}\right) du = \frac{1}{8} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ \frac{1}{8} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ \frac{1}{8} e^{4x^2+5} + C \] 10. \[ \int \frac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \arcsin x \). Тогда \( du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{\arcsin x} + C \] 11. \[ \int e^{3x^2-5x-3} (6x-5) dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 3x^2 - 5x - 3 \). Тогда \( du = (6x - 5) dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{3x^2-5x-3} + C \] 12. \[ \int e^{1-4x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 1 - 4x^2 \). Тогда \( du = -8x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{8} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{8}\right) du = -\frac{1}{8} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{8} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{8} e^{1-4x^2} + C \] 13. \[ \int e^{3x^2+4} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 3x^2 + 4 \). Тогда \( du = 6x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{6} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(\frac{1}{6}\right) du = \frac{1}{6} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ \frac{1}{6} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ \frac{1}{6} e^{3x^2+4} + C \] 14. \[ \int e^{\sin x+1} \cos x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \sin x + 1 \). Тогда \( du = \cos x dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{\sin x+1} + C \] 15. \[ \int e^{4-x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 4 - x^2 \). Тогда \( du = -2x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{2} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{2} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{2} e^{4-x^2} + C \] 16. \[ \int \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x} dx \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int e^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{\cos^2 x} dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \operatorname{tg} x \). Тогда \( du = \frac{1}{\cos^2 x} dx \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ e^{\operatorname{tg} x} + C \] 17. \[ \int e^{3 \cos x+2} \sin x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 3 \cos x + 2 \). Тогда \( du = -3 \sin x dx \), откуда \( \sin x dx = -\frac{1}{3} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{3} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{3} e^{3 \cos x+2} + C \] 18. \[ \int \frac{x}{e^{x^2-3}} dx \] Решение: Перепишем интеграл: \[ \int x e^{-(x^2-3)} dx \] Сделаем замену переменной. Пусть \( u = -(x^2 - 3) = 3 - x^2 \). Тогда \( du = -2x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{2} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{2} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{2} e^{-(x^2-3)} + C \] Или: \[ -\frac{1}{2e^{x^2-3}} + C \] 19. \[ \int e^{5x^2-3} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 5x^2 - 3 \). Тогда \( du = 10x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{10} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(\frac{1}{10}\right) du = \frac{1}{10} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ \frac{1}{10} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ \frac{1}{10} e^{5x^2-3} + C \] 20. \[ \int e^{5-2x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 5 - 2x^2 \). Тогда \( du = -4x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{4} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{4}\right) du = -\frac{1}{4} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{4} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{4} e^{5-2x^2} + C \] 21. \[ \int e^{4-3x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 4 - 3x^2 \). Тогда \( du = -6x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{6} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{6}\right) du = -\frac{1}{6} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{6} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{6} e^{4-3x^2} + C \] 22. \[ \int e^{\cos 2x} \sin 2x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \cos 2x \). Тогда \( du = -2 \sin 2x dx \), откуда \( \sin 2x dx = -\frac{1}{2} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{2} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{2} e^{\cos 2x} + C \] 23. \[ \int e^{1-6x^2} x dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = 1 - 6x^2 \). Тогда \( du = -12x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{12} du \). Подставим в интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{12}\right) du = -\frac{1}{12} \int e^u du \] Вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{12} e^u + C \] Вернемся к исходной переменной: \[ -\frac{1}{12} e^{1-6x^2} + C \] 24. \[ \int \frac{\operatorname{arctg}^4 5x}{1+25x^2} dx \] Решение: Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \operatorname{arctg} 5x \). Тогда \( du = \frac{1}{1