help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Интеграл ∫ dx / cos²(3x)∛(tg⁴(3x)) решается заменой переменной u = tg(3x). Результат интегрирования получается через применение степенной функции.
Хорошо, давайте решим эти задачи по интегрированию. Я буду подробно расписывать каждый шаг, чтобы было удобно переписать в тетрадь.
Задача 10
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\cos^2 3x \sqrt[3]{\operatorname{tg}^4 3x}} \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{tg} 3x\).
Тогда \(du = (\operatorname{tg} 3x)' dx = \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot 3 dx\).
Отсюда \(dx = \frac{\cos^2 3x}{3} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1}{\cos^2 3x \sqrt[3]{u^4}} \cdot \frac{\cos^2 3x}{3} du \]
Сократим \(\cos^2 3x\):
\[ \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u^4}} du = \frac{1}{3} \int u^{-\frac{4}{3}} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C \]
\[ \frac{1}{3} \cdot (-3) u^{-\frac{1}{3}} + C = -u^{-\frac{1}{3}} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{tg} 3x\):
\[ -\frac{1}{\sqrt[3]{\operatorname{tg} 3x}} + C \]
Ответ:
\[ -\frac{1}{\sqrt[3]{\operatorname{tg} 3x}} + C \]
Задача 11
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\sin^2 3x \sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2 3x}} \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} 3x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} 3x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 3x} \cdot 3 dx\).
Отсюда \(dx = -\frac{\sin^2 3x}{3} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1}{\sin^2 3x \sqrt[3]{u^2}} \cdot \left(-\frac{\sin^2 3x}{3}\right) du \]
Сократим \(\sin^2 3x\):
\[ \int -\frac{1}{3 \sqrt[3]{u^2}} du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{2}{3}} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3} + 1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C \]
\[ -\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C = -u^{\frac{1}{3}} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{ctg} 3x\):
\[ -\sqrt[3]{\operatorname{ctg} 3x} + C \]
Ответ:
\[ -\sqrt[3]{\operatorname{ctg} 3x} + C \]
Задача 12
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\cos^2 7x \sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 7x}} \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{tg} 7x\).
Тогда \(du = (\operatorname{tg} 7x)' dx = \frac{1}{\cos^2 7x} \cdot 7 dx\).
Отсюда \(dx = \frac{\cos^2 7x}{7} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1}{\cos^2 7x \sqrt[3]{u^2}} \cdot \frac{\cos^2 7x}{7} du \]
Сократим \(\cos^2 7x\):
\[ \int \frac{1}{7 \sqrt[3]{u^2}} du = \frac{1}{7} \int u^{-\frac{2}{3}} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ \frac{1}{7} \cdot \frac{u^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C \]
\[ \frac{1}{7} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C = \frac{3}{7} u^{\frac{1}{3}} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{tg} 7x\):
\[ \frac{3}{7} \sqrt[3]{\operatorname{tg} 7x} + C \]
Ответ:
\[ \frac{3}{7} \sqrt[3]{\operatorname{tg} 7x} + C \]
Задача 13
Найти интеграл:
\[ \int \frac{\operatorname{ctg}^5 6x}{\sin^2 6x} dx \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} 6x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} 6x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 6x} \cdot 6 dx\).
Отсюда \(dx = -\frac{\sin^2 6x}{6} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int u^5 \cdot \frac{1}{\sin^2 6x} \cdot \left(-\frac{\sin^2 6x}{6}\right) du \]
Сократим \(\sin^2 6x\):
\[ \int -\frac{1}{6} u^5 du = -\frac{1}{6} \int u^5 du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ -\frac{1}{6} \cdot \frac{u^{5+1}}{5+1} + C = -\frac{1}{6} \cdot \frac{u^6}{6} + C \]
\[ -\frac{u^6}{36} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{ctg} 6x\):
\[ -\frac{\operatorname{ctg}^6 6x}{36} + C \]
Ответ:
\[ -\frac{\operatorname{ctg}^6 6x}{36} + C \]
Задача 14
Найти интеграл:
\[ \int \frac{\sqrt[3]{\operatorname{tg}^5 4x}}{\cos^2 4x} dx \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{tg} 4x\).
Тогда \(du = (\operatorname{tg} 4x)' dx = \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot 4 dx\).
Отсюда \(dx = \frac{\cos^2 4x}{4} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \sqrt[3]{u^5} \cdot \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot \frac{\cos^2 4x}{4} du \]
Сократим \(\cos^2 4x\):
\[ \int \frac{1}{4} u^{\frac{5}{3}} du = \frac{1}{4} \int u^{\frac{5}{3}} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{5}{3} + 1}}{\frac{5}{3} + 1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} + C \]
\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}} + C = \frac{3}{32} u^{\frac{8}{3}} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{tg} 4x\):
\[ \frac{3}{32} \sqrt[3]{\operatorname{tg}^8 4x} + C \]
Ответ:
\[ \frac{3}{32} \sqrt[3]{\operatorname{tg}^8 4x} + C \]
Задача 15
Найти интеграл:
\[ \int \frac{\operatorname{ctg}^4 3x}{\sin^2 3x} dx \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} 3x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} 3x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 3x} \cdot 3 dx\).
Отсюда \(dx = -\frac{\sin^2 3x}{3} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int u^4 \cdot \frac{1}{\sin^2 3x} \cdot \left(-\frac{\sin^2 3x}{3}\right) du \]
Сократим \(\sin^2 3x\):
\[ \int -\frac{1}{3} u^4 du = -\frac{1}{3} \int u^4 du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{4+1}}{4+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C \]
\[ -\frac{u^5}{15} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{ctg} 3x\):
\[ -\frac{\operatorname{ctg}^5 3x}{15} + C \]
Ответ:
\[ -\frac{\operatorname{ctg}^5 3x}{15} + C \]
Задача 16
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\cos^4 4x \sqrt{\operatorname{tg} 4x}} \]
Решение:
Этот интеграл можно переписать как:
\[ \int \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot \frac{1}{\cos^2 4x \sqrt{\operatorname{tg} 4x}} dx \]
Мы знаем, что \(\frac{1}{\cos^2 4x} = 1 + \operatorname{tg}^2 4x\).
Тогда интеграл становится:
\[ \int \frac{1 + \operatorname{tg}^2 4x}{\sqrt{\operatorname{tg} 4x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 4x} dx \]
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{tg} 4x\).
Тогда \(du = (\operatorname{tg} 4x)' dx = \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot 4 dx\).
Отсюда \(\frac{1}{\cos^2 4x} dx = \frac{1}{4} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1 + u^2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \left(u^{-\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}}\right) du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ \frac{1}{4} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} \right) + C \]
\[ \frac{1}{4} \left( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right) + C \]
\[ \frac{1}{4} \left( 2u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right) + C \]
\[ \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{tg} 4x\):
\[ \frac{1}{2} \sqrt{\operatorname{tg} 4x} + \frac{1}{10} \sqrt{\operatorname{tg}^5 4x} + C \]
Ответ:
\[ \frac{1}{2} \sqrt{\operatorname{tg} 4x} + \frac{1}{10} \sqrt{\operatorname{tg}^5 4x} + C \]
Задача 17
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\sin^2 3x \operatorname{ctg}^3 3x} \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} 3x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} 3x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 3x} \cdot 3 dx\).
Отсюда \(dx = -\frac{\sin^2 3x}{3} du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1}{\sin^2 3x \cdot u^3} \cdot \left(-\frac{\sin^2 3x}{3}\right) du \]
Сократим \(\sin^2 3x\):
\[ \int -\frac{1}{3 u^3} du = -\frac{1}{3} \int u^{-3} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C \]
\[ \frac{1}{6} u^{-2} + C = \frac{1}{6u^2} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{ctg} 3x\):
\[ \frac{1}{6 \operatorname{ctg}^2 3x} + C \]
Можно также записать как:
\[ \frac{\operatorname{tg}^2 3x}{6} + C \]
Ответ:
\[ \frac{1}{6 \operatorname{ctg}^2 3x} + C \quad \text{или} \quad \frac{\operatorname{tg}^2 3x}{6} + C \]
Задача 18
Найти интеграл:
\[ \int \frac{\operatorname{tg}^6 x}{\cos^2 x} dx \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{tg} x\).
Тогда \(du = (\operatorname{tg} x)' dx = \frac{1}{\cos^2 x} dx\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int u^6 du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ \frac{u^{6+1}}{6+1} + C = \frac{u^7}{7} + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{tg} x\):
\[ \frac{\operatorname{tg}^7 x}{7} + C \]
Ответ:
\[ \frac{\operatorname{tg}^7 x}{7} + C \]
Задача 19
Найти интеграл:
\[ \int \frac{dx}{\sin^2 x \operatorname{ctg} x} \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 x} dx\).
Отсюда \(dx = -\sin^2 x du\).
Подставим это в интеграл:
\[ \int \frac{1}{\sin^2 x \cdot u} \cdot (-\sin^2 x) du \]
Сократим \(\sin^2 x\):
\[ \int -\frac{1}{u} du = -\int \frac{1}{u} du \]
Теперь проинтегрируем по \(u\):
\[ -\ln|u| + C \]
Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \operatorname{ctg} x\):
\[ -\ln|\operatorname{ctg} x| + C \]
Ответ:
\[ -\ln|\operatorname{ctg} x| + C \]
Задача 20
Найти интеграл:
\[ \int \frac{\sqrt{\operatorname{ctg} 4x}}{\sin^2 4x} dx \]
Решение:
Сделаем замену переменной. Пусть \(u = \operatorname{ctg} 4x\).
Тогда \(du = (\operatorname{ctg} 4x)' dx = -\frac{1}{\sin^2 4x} \cdot 4 dx\).
Отсюда \(dx = -\frac{\sin^2 4x}{4} du\).
Подставим это
