Решение задачи: траектория, скорость и ускорение точки

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача № К1. По заданным уравнениям движения точки М найти уравнение её траектории, положение точки для момента времени \(t_0 = 0\) и \(t_1\), вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории только для \(t_1\). Описать характер движения точки. Уравнение движения точки: \(x = 2 \sin(\pi \cdot t/3)\); \(y = 4 \cos(\pi \cdot t/3)\); \(t_1 = 1\) с. --- Решение: 1. Найдём уравнение траектории. У нас есть параметрические уравнения движения: \[x = 2 \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] \[y = 4 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] Из первого уравнения выразим \(\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\): \[\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) = \frac{x}{2}\] Из второго уравнения выразим \(\cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\): \[\cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) = \frac{y}{4}\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1\] \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\] Это уравнение эллипса с полуосями \(a=2\) и \(b=4\). 2. Положение точки для момента времени \(t_0 = 0\) и \(t_1 = 1\) с. Для \(t_0 = 0\): \[x_0 = 2 \sin\left(\frac{\pi \cdot 0}{3}\right) = 2 \sin(0) = 0\] \[y_0 = 4 \cos\left(\frac{\pi \cdot 0}{3}\right) = 4 \cos(0) = 4\] Положение точки в момент \(t_0 = 0\) с: \(M_0(0; 4)\). Для \(t_1 = 1\) с: \[x_1 = 2 \sin\left(\frac{\pi \cdot 1}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\] \[y_1 = 4 \cos\left(\frac{\pi \cdot 1}{3}\right) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\] Положение точки в момент \(t_1 = 1\) с: \(M_1(\sqrt{3}; 2)\). 3. Вычислим скорость. Для этого найдём производные координат по времени: \[v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2 \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] \[v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(4 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = 4 \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] В момент \(t_1 = 1\) с: \[v_x(1) = \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}\] \[v_y(1) = -\frac{4\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}\] Модуль скорости (полная скорость) в момент \(t_1 = 1\) с: \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\left(\frac{\pi}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}\right)^2}\] \[v = \sqrt{\frac{\pi^2}{9} + \frac{4\pi^2 \cdot 3}{9}} = \sqrt{\frac{\pi^2}{9} + \frac{12\pi^2}{9}} = \sqrt{\frac{13\pi^2}{9}} = \frac{\pi\sqrt{13}}{3}\] Приближённое значение: \(v \approx \frac{3.14 \cdot 3.6}{3} \approx 3.77\) м/с. 4. Вычислим полное, касательное и нормальное ускорения. Для этого найдём производные компонент скорости по времени (компоненты ускорения): \[a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = \frac{2\pi}{3} \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] \[a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}\left(-\frac{4\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) = -\frac{4\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)\] В момент \(t_1 = 1\) с: \[a_x(1) = -\frac{2\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2\pi^2}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}\] \[a_y(1) = -\frac{4\pi^2}{9} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi^2}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\pi^2}{9}\] Модуль полного ускорения в момент \(t_1 = 1\) с: \[a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{\left(-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}\right)^2 + \left(-\frac{2\pi^2}{9}\right)^2}\] \[a = \sqrt{\frac{3\pi^4}{81} + \frac{4\pi^4}{81}} = \sqrt{\frac{7\pi^4}{81}} = \frac{\pi^2\sqrt{7}}{9}\] Приближённое значение: \(a \approx \frac{(3.14)^2 \cdot 2.64}{9} \approx \frac{9.86 \cdot 2.64}{9} \approx 2.89\) м/с\(^2\). Касательное ускорение \(a_\tau\): \[a_\tau = \frac{dv}{dt}\] Можно также найти по формуле: \[a_\tau = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v}\] Подставим значения для \(t_1 = 1\) с: \[a_\tau = \frac{\left(\frac{\pi}{3}\right) \left(-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}\right) + \left(-\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}\right) \left(-\frac{2\pi^2}{9}\right)}{\frac{\pi\sqrt{13}}{3}}\] \[a_\tau = \frac{-\frac{\pi^3\sqrt{3}}{27} + \frac{4\pi^3\sqrt{3}}{27}}{\frac{\pi\sqrt{13}}{3}} = \frac{\frac{3\pi^3\sqrt{3}}{27}}{\frac{\pi\sqrt{13}}{3}} = \frac{\pi^3\sqrt{3}}{9} \cdot \frac{3}{\pi\sqrt{13}}\] \[a_\tau = \frac{\pi^2\sqrt{3}}{3\sqrt{13}} = \frac{\pi^2\sqrt{39}}{39}\] Приближённое значение: \(a_\tau \approx \frac{9.86 \cdot 6.24}{39} \approx 1.58\) м/с\(^2\). Нормальное ускорение \(a_n\): \[a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2}\] \[a_n = \sqrt{\left(\frac{\pi^2\sqrt{7}}{9}\right)^2 - \left(\frac{\pi^2\sqrt{39}}{39}\right)^2}\] \[a_n = \sqrt{\frac{7\pi^4}{81} - \frac{39\pi^4}{39^2}} = \sqrt{\frac{7\pi^4}{81} - \frac{\pi^4}{39}}\] Приведём к общему знаменателю \(81 \cdot 39 = 3159\): \[a_n = \sqrt{\frac{7\pi^4 \cdot 39 - \pi^4 \cdot 81}{3159}} = \sqrt{\frac{273\pi^4 - 81\pi^4}{3159}} = \sqrt{\frac{192\pi^4}{3159}}\] Сократим дробь на 3: \[a_n = \sqrt{\frac{64\pi^4}{1053}} = \frac{8\pi^2}{\sqrt{1053}} = \frac{8\pi^2}{9\sqrt{13}} = \frac{8\pi^2\sqrt{13}}{9 \cdot 13} = \frac{8\pi^2\sqrt{13}}{117}\] Приближённое значение: \(a_n \approx \frac{8 \cdot 9.86 \cdot 3.6}{117} \approx 2.43\) м/с\(^2\). 5. Радиус кривизны траектории \(R\). \[R = \frac{v^2}{a_n}\] Подставим значения для \(t_1 = 1\) с: \[R = \frac{\left(\frac{\pi\sqrt{13}}{3}\right)^2}{\frac{8\pi^2\sqrt{13}}{117}} = \frac{\frac{13\pi^2}{9}}{\frac{8\pi^2\sqrt{13}}{117}}\] \[R = \frac{13\pi^2}{9} \cdot \frac{117}{8\pi^2\sqrt{13}} = \frac{13 \cdot 117}{9 \cdot 8\sqrt{13}}\] Заметим, что \(117 = 9 \cdot 13\): \[R = \frac{13 \cdot 9 \cdot 13}{9 \cdot 8\sqrt{13}} = \frac{13^2}{8\sqrt{13}} = \frac{13\sqrt{13}}{8}\] Приближённое значение: \(R \approx \frac{13 \cdot 3.6}{8} \approx 5.85\) м. 6. Описать характер движения точки. Уравнение траектории \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\) описывает эллипс. Поскольку компоненты скорости и ускорения зависят от времени (содержат синусы и косинусы), скорость и ускорение точки меняются со временем. Касательное ускорение \(a_\tau = \frac{\pi^2\sqrt{39}}{39}\) не равно нулю, значит, модуль скорости точки меняется. Движение является неравномерным. Нормальное ускорение \(a_n = \frac{8\pi^2\sqrt{13}}{117}\) не равно нулю, значит, направление скорости точки меняется. Движение является криволинейным. Таким образом, движение точки является криволинейным неравномерным движением по эллиптической траектории. --- Ответы: 1. Уравнение траектории: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\) (эллипс). 2. Положение точки: * Для \(t_0 = 0\) с: \(M_0(0; 4)\). * Для \(t_1 = 1\) с: \(M_1(\sqrt{3}; 2)\). 3. Скорость для \(t_1 = 1\) с: \(v = \frac{\pi\sqrt{13}}{3}\) м/с. 4. Ускорения для \(t_1 = 1\) с: * Полное ускорение: \(a = \frac{\pi^2\sqrt{7}}{9}\) м/с\(^2\). * Касательное ускорение: \(a_\tau = \frac{\pi^2\sqrt{39}}{39}\) м/с\(^2\). * Нормальное ускорение: \(a_n = \frac{8\pi^2\sqrt{13}}{117}\) м/с\(^2\). 5. Радиус кривизны траектории для \(t_1 = 1\) с: \(R = \frac{13\sqrt{13}}{8}\) м. 6. Характер движения: Криволинейное неравномерное движение по эллиптической траектории.