Решение: Упрощение выражений с факториалами

Задание 2. Вычислить (упростить выражения с факториалами). Вспомним определение факториала: \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n \). Отсюда следует, что \( n! = (n-1)! \cdot n \). Решение: а) \[ \frac{n!}{(n-1)} \] В данном пункте в знаменателе стоит просто число \( (n-1) \), а не факториал. Распишем числитель: \[ \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n}{n-1} \] Сократим на \( (n-1) \): \[ 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-2) \cdot n \] Это выражение можно записать через факториал предыдущего числа: \[ (n-2)! \cdot n \] б) \[ \frac{n! - (n-1)}{n-1} \] Разделим почленно числитель на знаменатель: \[ \frac{n!}{n-1} - \frac{n-1}{n-1} \] Первую дробь мы уже упростили в пункте (а), а вторая равна 1: \[ (n-2)! \cdot n - 1 \] Ответ: а) \( (n-2)! \cdot n \) б) \( (n-2)! \cdot n - 1 \)