Решение задачи С-2 по термеху ПГУПС: Плоская система сил

Хорошо, давайте решим эту задачу по теоретической механике.

Определение реакций опор

Для начала, давайте внимательно рассмотрим схему и определим все действующие силы и моменты, а также тип опор.

1. Анализ схемы и нагрузок

* На схеме изображена сложная балка, состоящая из вертикального стержня и горизонтальной балки. * Вертикальный стержень в точке C закреплен шарнирно-неподвижной опорой, которая также связана с наклонным стержнем. Угол наклона стержня к горизонтали обозначен как \(\alpha = 60^\circ\). * В точке соединения вертикального стержня с горизонтальной балкой действует момент \(M = 20 \text{ кН} \cdot \text{м}\). * Горизонтальная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой \(q = 5 \text{ кН/м}\) на участке длиной 3 метра. * В точке A находится шарнирно-подвижная опора. * В точке B находится шарнирно-неподвижная опора. * Размеры: вертикальный стержень имеет высоту 2 метра. Горизонтальная балка имеет общую длину 4 метра (3 метра до опоры A и 1 метр от опоры A до опоры B). Обратите внимание, что в условии задачи указаны значения G, F и q max, но на схеме эти нагрузки не показаны. Мы будем использовать только те нагрузки, которые явно изображены на схеме: момент M и распределенная нагрузка q.

2. Освобождение от связей и замена их реакциями

Для определения реакций опор необходимо освободить систему от связей и заменить их соответствующими реакциями. * Опора C (шарнирно-неподвижная): В этой опоре возникают две реакции: горизонтальная \(R_{Cx}\) и вертикальная \(R_{Cy}\). Также к точке C присоединен наклонный стержень. Если этот стержень является двухшарнирным, то он передает только силу, направленную вдоль его оси. Пусть эта сила будет \(S\). * Опора A (шарнирно-подвижная): В этой опоре возникает одна реакция, перпендикулярная опорной поверхности. Поскольку опора находится под балкой, реакция будет вертикальной, направленной вверх. Обозначим ее \(R_A\). * Опора B (шарнирно-неподвижная): В этой опоре возникают две реакции: горизонтальная \(R_{Bx}\) и вертикальная \(R_{By}\).

3. Составление уравнений равновесия

Для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия: 1. Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю: \(\sum F_x = 0\) 2. Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю: \(\sum F_y = 0\) 3. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю: \(\sum M = 0\) Прежде чем составлять уравнения, заменим распределенную нагрузку \(q\) на сосредоточенную силу \(Q\). Величина сосредоточенной силы \(Q = q \cdot \text{длина участка} = 5 \text{ кН/м} \cdot 3 \text{ м} = 15 \text{ кН}\). Эта сила приложена в центре тяжести распределенной нагрузки, то есть на расстоянии \(3/2 = 1.5\) метра от левого края распределенной нагрузки. Давайте рассмотрим систему как единое целое.

Уравнения равновесия для всей системы:

1. Сумма проекций сил на ось X: Предположим, что \(R_{Cx}\) направлена вправо, \(R_{Bx}\) направлена вправо, а сила \(S\) в наклонном стержне направлена от точки C. Проекция силы \(S\) на ось X будет \(S \cos \alpha\). \[ \sum F_x = R_{Cx} + S \cos \alpha + R_{Bx} = 0 \] 2. Сумма проекций сил на ось Y: Предположим, что \(R_{Cy}\), \(R_A\), \(R_{By}\) направлены вверх. Сила \(Q\) направлена вниз. Проекция силы \(S\) на ось Y будет \(S \sin \alpha\). \[ \sum F_y = R_{Cy} + S \sin \alpha + R_A + R_{By} - Q = 0 \] 3. Сумма моментов относительно точки B: Выберем точку B, чтобы исключить \(R_{Bx}\) и \(R_{By}\) из уравнения. Момент от \(R_{Cy}\) относительно B: \(R_{Cy} \cdot 4\) (по часовой стрелке, если \(R_{Cy}\) вверх). Момент от \(S \sin \alpha\) относительно B: \(S \sin \alpha \cdot 4\) (по часовой стрелке, если \(S \sin \alpha\) вверх). Момент от \(S \cos \alpha\) относительно B: \(S \cos \alpha \cdot 2\) (против часовой стрелки, если \(S \cos \alpha\) вправо). Момент от \(M\): \(M\) (по часовой стрелке). Момент от \(Q\): \(Q \cdot (1 + 1.5)\) (по часовой стрелке). Момент от \(R_A\): \(R_A \cdot 1\) (против часовой стрелки). \[ \sum M_B = R_{Cy} \cdot 4 + S \sin \alpha \cdot 4 - S \cos \alpha \cdot 2 + M + Q \cdot (1 + 1.5) - R_A \cdot 1 = 0 \] Подставим значения: \(M = 20 \text{ кН} \cdot \text{м}\), \(Q = 15 \text{ кН}\), \(\alpha = 60^\circ\). \(\cos 60^\circ = 0.5\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\). \[ 4 R_{Cy} + 4 S \cdot 0.866 - 2 S \cdot 0.5 + 20 + 15 \cdot 2.5 - R_A = 0 \] \[ 4 R_{Cy} + 3.464 S - S + 20 + 37.5 - R_A = 0 \] \[ 4 R_{Cy} + 2.464 S + 57.5 - R_A = 0 \] У нас 5 неизвестных (\(R_{Cx}, R_{Cy}, S, R_A, R_{Bx}, R_{By}\)) и только 3 уравнения. Это означает, что система статически неопределима, если рассматривать ее как единое целое. Необходимо разделить систему на части.

4. Разделение системы на части

Разделим систему в точке соединения вертикального стержня с горизонтальной балкой. Пусть эта точка будет D. Вертикальный стержень: CD. Горизонтальная балка: DB.

Рассмотрим вертикальный стержень CD:

* В точке C: реакции \(R_{Cx}\), \(R_{Cy}\) и сила \(S\). * В точке D (соединение с балкой): внутренние силы - горизонтальная \(N_D\), вертикальная \(V_D\) и момент \(M_D\). * Действует момент \(M = 20 \text{ кН} \cdot \text{м}\).

Рассмотрим горизонтальную балку DB:

* В точке D: внутренние силы - горизонтальная \(N_D\), вертикальная \(V_D\) и момент \(M_D\) (с противоположным знаком по сравнению со стержнем CD). * Нагрузка \(Q = 15 \text{ кН}\) на расстоянии 1.5 м от D. * Опора A: реакция \(R_A\). * Опора B: реакции \(R_{Bx}\), \(R_{By}\). Давайте начнем с балки DB, так как она имеет меньше неизвестных внутренних сил, если рассматривать ее отдельно.

Рассмотрим балку DB:

Длина балки DB = 4 метра. Распределенная нагрузка \(q\) действует на участке 3 метра от D. Сосредоточенная сила \(Q = 15 \text{ кН}\) приложена на расстоянии 1.5 м от D. Опора A находится на расстоянии 3 м от D. Опора B находится на расстоянии 4 м от D. Уравнения равновесия для балки DB: 1. Сумма проекций сил на ось X: Предположим, что \(N_D\) направлена влево, \(R_{Bx}\) направлена вправо. \[ \sum F_x = -N_D + R_{Bx} = 0 \implies N_D = R_{Bx} \] 2. Сумма моментов относительно точки B: Выберем точку B, чтобы исключить \(R_{Bx}\) и \(R_{By}\). Момент от \(M_D\) (предположим, что он действует против часовой стрелки на балку). Момент от \(V_D\) (предположим, что она действует вниз на балку): \(V_D \cdot 4\) (по часовой стрелке). Момент от \(Q\): \(Q \cdot (4 - 1.5)\) (по часовой стрелке). Момент от \(R_A\): \(R_A \cdot (4 - 3)\) (против часовой стрелки). \[ \sum M_B = -M_D + V_D \cdot 4 + Q \cdot 2.5 - R_A \cdot 1 = 0 \] \[ -M_D + 4 V_D + 15 \cdot 2.5 - R_A = 0 \] \[ -M_D + 4 V_D + 37.5 - R_A = 0 \quad (1) \] 3. Сумма моментов относительно точки A: Выберем точку A, чтобы исключить \(R_A\). Момент от \(M_D\): \(-M_D\) (против часовой стрелки). Момент от \(V_D\): \(V_D \cdot 3\) (по часовой стрелке). Момент от \(Q\): \(Q \cdot (3 - 1.5)\) (по часовой стрелке). Момент от \(R_{By}\): \(R_{By} \cdot 1\) (против часовой стрелки). \[ \sum M_A = -M_D + V_D \cdot 3 + Q \cdot 1.5 - R_{By} \cdot 1 = 0 \] \[ -M_D + 3 V_D + 15 \cdot 1.5 - R_{By} = 0 \] \[ -M_D + 3 V_D + 22.5 - R_{By} = 0 \quad (2) \] Теперь рассмотрим вертикальный стержень CD. Высота стержня = 2 метра. В точке C: \(R_{Cx}\), \(R_{Cy}\), сила \(S\) под углом \(\alpha = 60^\circ\). В точке D: внутренние силы \(N_D\), \(V_D\), \(M_D\) (с противоположным знаком). То есть, если на балку \(V_D\) действовала вниз, то на стержень она действует вверх. Если \(N_D\) на балку влево, то на стержень вправо. Если \(M_D\) на балку против часовой стрелки, то на стержень по часовой стрелке. Действует момент \(M = 20 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке). Уравнения равновесия для стержня CD: 1. Сумма проекций сил на ось X: Предположим, что \(R_{Cx}\) вправо, \(S \cos \alpha\) вправо, \(N_D\) вправо. \[ \sum F_x = R_{Cx} + S \cos \alpha + N_D = 0 \] 2. Сумма проекций сил на ось Y: Предположим, что \(R_{Cy}\) вверх, \(S \sin \alpha\) вверх, \(V_D\) вверх. \[ \sum F_y = R_{Cy} + S \sin \alpha + V_D = 0 \] 3. Сумма моментов относительно точки D: Выберем точку D, чтобы исключить \(N_D\) и \(V_D\). Момент от \(R_{Cx}\): \(R_{Cx} \cdot 2\) (против часовой стрелки). Момент от \(R_{Cy}\): \(R_{Cy} \cdot 0\) (проходит через D). Момент от \(S \cos \alpha\): \(S \cos \alpha \cdot 2\) (против часовой стрелки). Момент от \(S \sin \alpha\): \(S \sin \alpha \cdot 0\) (проходит через D). Момент \(M\): \(M\) (по часовой стрелке). Момент \(M_D\): \(M_D\) (по часовой стрелке, если на стержень). \[ \sum M_D = -R_{Cx} \cdot 2 - S \cos \alpha \cdot 2 + M + M_D = 0 \] \[ -2 R_{Cx} - 2 S \cdot 0.5 + 20 + M_D = 0 \] \[ -2 R_{Cx} - S + 20 + M_D = 0 \quad (3) \] Теперь у нас есть система из 3 уравнений для балки DB и 3 уравнений для стержня CD. Из (1) и (2) для балки DB: \(R_A = -M_D + 4 V_D + 37.5\) \(R_{By} = -M_D + 3 V_D + 22.5\) Подставим \(R_A\) и \(R_{By}\) в уравнение \(\sum F_y = 0\) для балки DB: \[ \sum F_y = V_D - Q + R_A + R_{By} = 0 \] \[ V_D - 15 + (-M_D + 4 V_D + 37.5) + (-M_D + 3 V_D + 22.5) = 0 \] \[ V_D - 15 - M_D + 4 V_D + 37.5 - M_D + 3 V_D + 22.5 = 0 \] \[ 8 V_D - 2 M_D + 45 = 0 \quad (4) \] Теперь у нас есть 2 уравнения с \(V_D\) и \(M_D\) для балки DB: (1) \(-M_D + 4 V_D + 37.5 - R_A = 0\) (2) \(-M_D + 3 V_D + 22.5 - R_{By} = 0\) (4) \(8 V_D - 2 M_D + 45 = 0 \implies M_D = 4 V_D + 22.5\) Подставим \(M_D\) в (1): \[ -(4 V_D + 22.5) + 4 V_D + 37.5 - R_A = 0 \] \[ -4 V_D - 22.5 + 4 V_D + 37.5 - R_A = 0 \] \[ 15 - R_A = 0 \implies R_A = 15 \text{ кН} \] Подставим \(M_D\) в (2): \[ -(4 V_D + 22.5) + 3 V_D + 22.5 - R_{By} = 0 \] \[ -4 V_D - 22.5 + 3 V_D + 22.5 - R_{By} = 0 \] \[ -V_D - R_{By} = 0 \implies R_{By} = -V_D \] Теперь у нас есть \(R_A = 15 \text{ кН}\). Из (4) \(M_D = 4 V_D + 22.5\). Из \(\sum F_y = 0\) для балки DB: \(V_D - Q + R_A + R_{By} = 0\). \(V_D - 15 + 15 + R_{By} = 0 \implies V_D + R_{By} = 0\). Это согласуется с \(R_{By} = -V_D\). Теперь вернемся к стержню CD. Уравнения для стержня CD: (3) \(-2 R_{Cx} - S + 20 + M_D = 0\) \(\sum F_x = R_{Cx} + S \cos \alpha + N_D = 0\) \(\sum F_y = R_{Cy} + S \sin \alpha + V_D = 0\) Мы знаем, что \(N_D = R_{Bx}\) (из \(\sum F_x = 0\) для балки DB). У