Решение задачи о прямоугольном треугольнике (8 класс)

Задание 1 Дано: Треугольник ABC — прямоугольный (угол C = 90 градусов). \( a = 6 \) (катет BC) \( b = 8 \) (катет AC) Найти: \( c \) — гипотенуза \( \angle A, \angle B \) — острые углы \( h_c \) — высота к гипотенузе \( a_c, b_c \) — проекции катетов на гипотенузу Решение: 1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] 2. Найдем проекции катетов на гипотенузу, используя свойства прямоугольного треугольника: \[ a^2 = a_c \cdot c \implies a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3,6 \] \[ b^2 = b_c \cdot c \implies b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6,4 \] 3. Найдем высоту \( h_c \): \[ h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{3,6 \cdot 6,4} = \sqrt{23,04} = 4,8 \] 4. Найдем углы через тригонометрические соотношения: \[ \sin A = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = 0,6 \implies \angle A \approx 37^\circ \] \[ \angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \] Ответ: \( c = 10 \); \( a_c = 3,6 \); \( b_c = 6,4 \); \( h_c = 4,8 \); \( \angle A \approx 37^\circ \); \( \angle B \approx 53^\circ \). Задание 2 Дано: Треугольник ABC — прямоугольный (угол C = 90 градусов). \( a = 8 \) (катет BC) \( a_c = 6,4 \) (проекция катета a на гипотенузу) Найти: \( c \) — гипотенуза \( b \) — катет AC \( b_c \) — проекция катета b на гипотенузу \( h_c \) — высота \( \angle A, \angle B \) — острые углы Решение: 1. Используем формулу проекции катета: \[ a^2 = a_c \cdot c \implies c = \frac{a^2}{a_c} = \frac{8^2}{6,4} = \frac{64}{6,4} = 10 \] 2. Найдем вторую проекцию \( b_c \): \[ b_c = c - a_c = 10 - 6,4 = 3,6 \] 3. Найдем катет \( b \): \[ b = \sqrt{b_c \cdot c} = \sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6 \] 4. Найдем высоту \( h_c \): \[ h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{6,4 \cdot 3,6} = \sqrt{23,04} = 4,8 \] 5. Найдем углы: \[ \sin B = \frac{b}{c} = \frac{6}{10} = 0,6 \implies \angle B \approx 37^\circ \] \[ \angle A = 90^\circ - \angle B \approx 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \] Ответ: \( c = 10 \); \( b = 6 \); \( b_c = 3,6 \); \( h_c = 4,8 \); \( \angle A \approx 53^\circ \); \( \angle B \approx 37^\circ \).