Решение задачи №13: Определение центра тяжести плоской фигуры

Задача №13. Определение центра тяжести плоской фигуры. Для решения задачи разобьем сложную фигуру на три простых прямоугольника и воспользуемся методом разбиения. 1. Разбиение фигуры и определение площадей: Прямоугольник №1 (левый вертикальный столб): Ширина \( b_1 = 2 \), высота \( h_1 = 10 \). Площадь: \[ S_1 = b_1 \cdot h_1 = 2 \cdot 10 = 20 \] Координаты центра тяжести \( C_1 \): \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_1 = \frac{10}{2} = 5 \] Прямоугольник №2 (верхний горизонтальный выступ): Ширина \( b_2 = 8 - 2 = 6 \), высота \( h_2 = 2 \). Площадь: \[ S_2 = b_2 \cdot h_2 = 6 \cdot 2 = 12 \] Координаты центра тяжести \( C_2 \): \[ x_2 = 2 + \frac{6}{2} = 5 \] \[ y_2 = 10 - \frac{2}{2} = 9 \] Прямоугольник №3 (нижний правый Г-образный элемент): Разобьем его на горизонтальное основание и вертикальный выступ. Основание (нижнее): ширина \( 12 - 2 = 10 \), высота \( 2 \). \[ S_{3a} = 10 \cdot 2 = 20 \] \[ x_{3a} = 2 + \frac{10}{2} = 7 \], \[ y_{3a} = \frac{2}{2} = 1 \] Правый выступ: ширина \( 2 \), высота \( 4 - 2 = 2 \). \[ S_{3b} = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ x_{3b} = 12 - \frac{2}{2} = 11 \], \[ y_{3b} = 2 + \frac{2}{2} = 3 \] 2. Определение координат центра тяжести всей фигуры по формулам: \[ X_c = \frac{\sum S_i \cdot x_i}{\sum S_i} \] \[ Y_c = \frac{\sum S_i \cdot y_i}{\sum S_i} \] Вычислим общую площадь: \[ S_{sum} = S_1 + S_2 + S_{3a} + S_{3b} = 20 + 12 + 20 + 4 = 56 \] Вычислим координату \( X_c \): \[ X_c = \frac{20 \cdot 1 + 12 \cdot 5 + 20 \cdot 7 + 4 \cdot 11}{56} = \frac{20 + 60 + 140 + 44}{56} = \frac{264}{56} \approx 4,71 \] Вычислим координату \( Y_c \): \[ Y_c = \frac{20 \cdot 5 + 12 \cdot 9 + 20 \cdot 1 + 4 \cdot 3}{56} = \frac{100 + 108 + 20 + 12}{56} = \frac{240}{56} \approx 4,29 \] Ответ: Центр тяжести фигуры находится в точке с координатами \( X_c \approx 4,71 \), \( Y_c \approx 4,29 \).