Решение задачи по операторному методу Лапласа

Это относится к **операторному методу** (или методу преобразования Лапласа). Это специальный математический «трюк», который позволяет превратить сложное дифференциальное уравнение с производными в обычное алгебраическое уравнение, которое решается как в 7 классе. Вот как это работает простыми словами: **1. Что такое «Изображение»?** Мы договариваемся, что каждой функции времени \(x(t)\) соответствует её «тень» или «изображение» — функция \(X(p)\). При этом производные превращаются в умножение на букву \(p\): - Сама функция \(x(t)\) превращается в \(X(p)\). - Первая производная \(x'\) превращается в \(pX - x(0)\). - Вторая производная \(x''\) превращается в \(p^2X - p \cdot x(0) - x'(0)\). **2. Как мы это применили в задаче 6?** У нас дано: \(x'' + 4x' + 3x = 0\) и начальные условия \(x(0)=1, x'(0)=-5\). Заменяем каждую часть уравнения на её «изображение»: - Вместо \(x''\) пишем: \(p^2X - p \cdot 1 - (-5) = p^2X - p + 5\). - Вместо \(4x'\) пишем: \(4(pX - 1) = 4pX - 4\). - Вместо \(3x\) пишем: \(3X\). Складываем всё вместе: \[(p^2X - p + 5) + (4pX - 4) + 3X = 0\] Теперь собираем всё с \(X\) в одной стороне, а всё остальное переносим вправо: \[X(p^2 + 4p + 3) = p - 1\] Отсюда находим наше изображение: \[X(p) = \frac{p-1}{p^2 + 4p + 3}\] **3. Что делать дальше? (Разложение на дроби)** Работать с такой дробью неудобно, поэтому мы раскладываем её на две простые дроби. Знаменатель \(p^2 + 4p + 3\) распадается на множители \((p+1)(p+3)\). Мы ищем такие числа \(A\) и \(B\), чтобы: \[\frac{p-1}{(p+1)(p+3)} = \frac{A}{p+1} + \frac{B}{p+3}\] Методом подстановки (как я расписал в решении) находим, что \(A = -1\), а \(B = 2\). Получаем: \(X(p) = \frac{2}{p+3} - \frac{1}{p+1}\). **4. Возвращение к «Оригиналу»** Теперь мы смотрим в специальную таблицу (она есть в каждом учебнике) и видим, что дроби вида \(\frac{1}{p+a}\) — это изображения экспонент \(e^{-at}\). - Для \(\frac{2}{p+3}\) оригиналом будет \(2e^{-3t}\). - Для \(\frac{1}{p+1}\) оригиналом будет \(e^{-t}\). Так мы получаем итоговый ответ: \(x(t) = 2e^{-3t} - e^{-t}\). **Суть метода:** Мы ушли из мира производных в мир обычных дробей, там всё посчитали и вернулись обратно. Это гораздо проще, чем решать уравнение классическим способом. В российской инженерной школе этот метод считается основным для анализа электрических цепей и систем управления.