Решение задачи: Метод неопределенных коэффициентов

Появление \(A\) и \(B\) — это стандартный математический прием, который называется **«Метод неопределенных коэффициентов»**. Он нужен для того, чтобы сложную дробь превратить в сумму нескольких простых дробей. Давай разберем по шагам, как это делается в тетради: **1. Зачем это нужно?** У нас есть дробь: \[\frac{p-1}{(p+1)(p+3)}\] В таблице Лапласа нет формулы для такой длинной дроби. Но там есть формулы для коротких дробей вида \(\frac{1}{p+a}\). Поэтому наша цель — «разорвать» одну большую дробь на две маленькие. **2. Как мы записываем заготовку?** Мы предполагаем, что нашу дробь можно представить в виде суммы: \[\frac{p-1}{(p+1)(p+3)} = \frac{A}{p+1} + \frac{B}{p+3}\] Здесь \(A\) и \(B\) — это какие-то неизвестные пока числа (коэффициенты), которые нам нужно найти. **3. Как найти эти числа?** Чтобы найти \(A\) и \(B\), мы приводим правую часть к общему знаменателю (умножаем крест-накрест): \[\frac{p-1}{(p+1)(p+3)} = \frac{A(p+3) + B(p+1)}{(p+1)(p+3)}\] Теперь знаменатели одинаковые, значит, должны быть равны и числители: \[p - 1 = A(p + 3) + B(p + 1)\] **4. Самый простой способ расчета (Метод частных значений):** Чтобы не раскрывать скобки, мы подставляем вместо \(p\) такие числа, которые зануляют скобки. * **Пусть \(p = -1\)** (это занулит скобку при \(B\)): \[-1 - 1 = A(-1 + 3) + B(-1 + 1)\] \[-2 = 2A \Rightarrow A = -1\] * **Пусть \(p = -3\)** (это занулит скобку при \(A\)): \[-3 - 1 = A(-3 + 3) + B(-3 + 1)\] \[-4 = -2B \Rightarrow B = 2\] **Итог:** Теперь мы точно знаем, что \(A = -1\), а \(B = 2\). Мы подставляем их обратно в нашу заготовку: \[X(p) = \frac{-1}{p+1} + \frac{2}{p+3}\] Или, если поменять местами для красоты: \[X(p) = \frac{2}{p+3} - \frac{1}{p+1}\] Этот метод — основа основ в нашей математической школе. Он позволяет легко переходить от сложных операторных выражений к простым функциям-оригиналам. В тетради это обычно записывается кратко: «Разложим дробь на простейшие», и далее следуют вычисления \(A\) и \(B\).