Решение системы уравнений 13.14 (номер 1)

Решение системы уравнений 13.14 (номер 1). Дана система уравнений: \[ \begin{cases} (x + y)(x^2 - y^2) = 9 \\ (x - y)(x^2 + y^2) = 5 \end{cases} \] Разложим разность квадратов в первом уравнении: \[ (x + y)(x - y)(x + y) = 9 \] \[ (x + y)^2 (x - y) = 9 \] Теперь наша система выглядит так: \[ \begin{cases} (x + y)^2 (x - y) = 9 \quad (1) \\ (x - y)(x^2 + y^2) = 5 \quad (2) \end{cases} \] Разделим первое уравнение на второе (при условии, что \(x \neq y\), так как если \(x = y\), то левые части равны 0, а правые нет): \[ \frac{(x + y)^2 (x - y)}{(x - y)(x^2 + y^2)} = \frac{9}{5} \] \[ \frac{(x + y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{9}{5} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2} = \frac{9}{5} \] Применим свойство пропорции: \[ 5(x^2 + 2xy + y^2) = 9(x^2 + y^2) \] \[ 5x^2 + 10xy + 5y^2 = 9x^2 + 9y^2 \] \[ 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 \] Это однородное уравнение. Разделим его на \(y^2\) (при \(y \neq 0\)): \[ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0 \] Пусть \(t = \frac{x}{y}\). Тогда: \[ 2t^2 - 5t + 2 = 0 \] \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] \[ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2; \quad t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] Рассмотрим два случая: 1) Если \(t = 2\), то \(x = 2y\). Подставим во второе уравнение исходной системы: \[ (2y - y)((2y)^2 + y^2) = 5 \] \[ y(4y^2 + y^2) = 5 \] \[ y \cdot 5y^2 = 5 \] \[ 5y^3 = 5 \implies y^3 = 1 \implies y = 1 \] Тогда \(x = 2 \cdot 1 = 2\). 2) Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(y = 2x\). Подставим во второе уравнение: \[ (x - 2x)(x^2 + (2x)^2) = 5 \] \[ -x(x^2 + 4x^2) = 5 \] \[ -x \cdot 5x^2 = 5 \] \[ -5x^3 = 5 \implies x^3 = -1 \implies x = -1 \] Тогда \(y = 2 \cdot (-1) = -2\). Проверка показывает, что обе пары чисел являются решениями. Ответ: (2; 1), (-1; -2).