Решение задачи 13.14 (номер 2)

Решение системы уравнений 13.14 (номер 2). Дана система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{y}(x^2 - 2y^2) = 4 \quad (1) \\ \frac{y}{x}(x^2 + 2y^2) = 3 \quad (2) \end{cases} \] Для удобства избавимся от знаменателей, умножив первое уравнение на \(y\), а второе на \(x\) (при этом \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\)): \[ \begin{cases} x(x^2 - 2y^2) = 4y \\ y(x^2 + 2y^2) = 3x \end{cases} \] Раскроем скобки: \[ \begin{cases} x^3 - 2xy^2 = 4y \quad (3) \\ x^2y + 2y^3 = 3x \quad (4) \end{cases} \] Разделим уравнение (3) на уравнение (4): \[ \frac{x^3 - 2xy^2}{x^2y + 2y^3} = \frac{4y}{3x} \] Применим свойство пропорции: \[ 3x(x^3 - 2xy^2) = 4y(x^2y + 2y^3) \] \[ 3x^4 - 6x^2y^2 = 4x^2y^2 + 8y^4 \] \[ 3x^4 - 10x^2y^2 - 8y^4 = 0 \] Это однородное уравнение четвертой степени. Разделим его на \(y^4\): \[ 3\left(\frac{x^2}{y^2}\right)^2 - 10\left(\frac{x^2}{y^2}\right) - 8 = 0 \] Пусть \(a = \frac{x^2}{y^2}\). Тогда: \[ 3a^2 - 10a - 8 = 0 \] \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2 \] \[ a_1 = \frac{10 + 14}{6} = 4; \quad a_2 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{2}{3} \] Так как \(a = \frac{x^2}{y^2}\), то \(a\) не может быть отрицательным. Значит, подходит только \(a = 4\). \[ \frac{x^2}{y^2} = 4 \implies x^2 = 4y^2 \implies x = 2y \text{ или } x = -2y \] Рассмотрим эти случаи: 1) Если \(x = 2y\), подставим в уравнение (1): \[ \frac{2y}{y}((2y)^2 - 2y^2) = 4 \] \[ 2(4y^2 - 2y^2) = 4 \] \[ 2 \cdot 2y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1 \] Отсюда \(y_1 = 1\) (тогда \(x_1 = 2\)) и \(y_2 = -1\) (тогда \(x_2 = -2\)). 2) Если \(x = -2y\), подставим в уравнение (1): \[ \frac{-2y}{y}((-2y)^2 - 2y^2) = 4 \] \[ -2(4y^2 - 2y^2) = 4 \] \[ -2 \cdot 2y^2 = 4 \implies -4y^2 = 4 \implies y^2 = -1 \] Уравнение не имеет действительных корней. Ответ: (2; 1), (-2; -1).