schoolФизика
verifiedРешено AI
Решение задач по теории множеств
help_outlineУсловие задачи
Задать множество через определяющее свойство: A={1,4,9,16,25...} Реши задачу: Составить Р(А) для А={1,2,3,4} Реши задачу: Доказать (AUB)|C=(A|C)U(B|C)
lightbulbКраткий ответ
На странице представлены решения задач по теории множеств, включая определение множества через свойство, нахождение степени множества и доказательство тождеств с использованием законов алгебры множеств.
Подробное решение
Для решения задачи по упрощению выражения множеств воспользуемся законами алгебры множеств.
Дано выражение:
\[ A \cup (B \cap \overline{A \cap B}) \]
1. Применим закон де Моргана к выражению под чертой (дополнению пересечения):
\[ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[ A \cup (B \cap (\overline{A} \cup \overline{B})) \]
2. Используем дистрибутивный закон (распределительный закон пересечения относительно объединения) для раскрытия внутренних скобок:
\[ B \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = (B \cap \overline{A}) \cup (B \cap \overline{B}) \]
3. Вспомним свойство дополнения: пересечение множества с его дополнением дает пустое множество:
\[ B \cap \overline{B} = \emptyset \]
Следовательно:
\[ (B \cap \overline{A}) \cup \emptyset = B \cap \overline{A} \]
4. Подставим полученный результат обратно в общее выражение:
\[ A \cup (B \cap \overline{A}) \]
5. Снова применим дистрибутивный закон (теперь для объединения относительно пересечения):
\[ A \cup (B \cap \overline{A}) = (A \cup B) \cap (A \cup \overline{A}) \]
6. Используем свойство дополнения: объединение множества с его дополнением дает универсальное множество \( U \):
\[ A \cup \overline{A} = U \]
7. Пересечение любого множества с универсальным множеством равно самому этому множеству:
\[ (A \cup B) \cap U = A \cup B \]
Ответ:
\[ A \cup B \]