Решение: Уравнения равновесия рамы и опорные реакции

6. Расчет рамы на прочность Дано: \(a = 2,4\) м \(b = 2,3\) м \(c = 4\) м \(q = 10\) кН/м \(P = 80\) кН \(M = 15\) кН·м \([\sigma] = 160\) МПа Решение: 1. Определение опорных реакций. Рама жестко защемлена в левой верхней точке (пусть это будет точка А). В жесткой заделке возникают три реактивных усилия: горизонтальная реакция \(R_{Ax}\), вертикальная реакция \(R_{Ay}\) и реактивный момент \(M_A\). Направим оси координат: ось \(x\) — вправо, ось \(y\) — вверх. Равнодействующая распределенной нагрузки \(q\): \[Q = q \cdot c = 10 \cdot 4 = 40 \text{ кН}\] Точка приложения \(Q\) находится посередине стойки высотой \(c\). Составим уравнения равновесия для статически определимой системы: 1) Сумма проекций всех сил на ось \(x\): \[\sum F_x = 0: R_{Ax} - Q = 0\] Отсюда: \[R_{Ax} = Q = 40 \text{ кН}\] 2) Сумма проекций всех сил на ось \(y\): \[\sum F_y = 0: R_{Ay} - P = 0\] Отсюда: \[R_{Ay} = P = 80 \text{ кН}\] 3) Сумма моментов всех сил относительно точки заделки А: \[\sum M_A = 0: M_A - M - P \cdot (a - b) - Q \cdot \frac{c}{2} = 0\] Подставим численные значения: \[M_A - 15 - 80 \cdot (2,4 - 2,3) - 40 \cdot \frac{4}{2} = 0\] \[M_A - 15 - 80 \cdot 0,1 - 40 \cdot 2 = 0\] \[M_A - 15 - 8 - 80 = 0\] \[M_A = 103 \text{ кН·м}\] Проверка: Для проверки можно составить уравнение моментов относительно любой другой точки, например, точки приложения силы \(P\) (точка К): \[\sum M_K = M_A - R_{Ay} \cdot (a - b) - R_{Ax} \cdot c - M + Q \cdot \frac{c}{2} = 0\] \[103 - 80 \cdot 0,1 - 40 \cdot 4 - 15 + 40 \cdot 2 = 103 - 8 - 160 - 15 + 80 = 0\] \(0 = 0\). Реакции определены верно. Ответ: \(R_{Ax} = 40\) кН, \(R_{Ay} = 80\) кН, \(M_A = 103\) кН·м.