Решение задачи про цилиндр на наклонной плоскости

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (про цилиндр) Дано: \( m = 50 \, \text{кг} \) \( R = 1 \, \text{м} \) \( \alpha = 30^\circ \) \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( M_{пары} - ? \) Решение: Чтобы удержать цилиндр на наклонной плоскости в покое, приложенный момент пары сил должен уравновесить момент силы тяжести относительно точки касания цилиндра с плоскостью (мгновенного центра вращения). Сила тяжести \( G = mg \) приложена к центру цилиндра. Плечо этой силы относительно точки касания равно \( R \cdot \sin(\alpha) \). Условие равновесия моментов: \[ M_{пары} = mg \cdot R \cdot \sin(\alpha) \] Подставим значения: \[ M_{пары} = 50 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 500 \cdot 0,5 = 250 \, \text{Н} \cdot \text{м} \] Ответ: 250. Задача 2 (про тележку) Дано: \( x = 4t^2 \) (переносное движение) \( y_M = 3t^2 + 1 \) (относительное движение) \( t = 1 \, \text{с} \) Найти: \( a_{абс} - ? \) Решение: 1. Найдем переносное ускорение \( a_e \), дважды продифференцировав закон движения тележки: \[ v_e = x' = (4t^2)' = 8t \] \[ a_e = v_e' = (8t)' = 8 \, \text{м/с}^2 \] 2. Найдем относительное ускорение \( a_r \), дважды продифференцировав закон движения точки по тележке: \[ v_r = y_M' = (3t^2 + 1)' = 6t \] \[ a_r = v_r' = (6t)' = 6 \, \text{м/с}^2 \] 3. Так как движения происходят в перпендикулярных направлениях (продольное и поперечное), и переносное движение поступательное (ускорение Кориолиса равно нулю), абсолютное ускорение находится по теореме Пифагора: \[ a_{абс} = \sqrt{a_e^2 + a_r^2} \] \[ a_{абс} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{м/с}^2 \] Ответ: 10. Задача 3 (про движение по окружности) Дано: \( R = 1 \, \text{м} \) \( S = 4t \) \( t = 0,5 \, \text{с} \) Найти: угол между \( \vec{v} \) и \( \vec{a} \). Решение: 1. Скорость точки: \( v = S' = (4t)' = 4 \, \text{м/с} \). Скорость постоянна. 2. Касательное (тангенциальное) ускорение: \( a_{\tau} = v' = (4)' = 0 \). 3. Нормальное (центростремительное) ускорение: \[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{4^2}{1} = 16 \, \text{м/с}^2 \] 4. Так как \( a_{\tau} = 0 \), полное ускорение \( \vec{a} \) совпадает с нормальным ускорением \( \vec{a}_n \). 5. Вектор скорости \( \vec{v} \) всегда направлен по касательной к траектории, а вектор нормального ускорения \( \vec{a}_n \) — по радиусу к центру. Угол между касательной и радиусом всегда равен \( 90^\circ \). Ответ: \( 90^\circ \).