Решение задачи: Угол между векторами скорости и ускорения

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Вопрос 7. Дано: \( R = 1 \, \text{м} \) \( S = 3t \) \( t = 0,5 \, \text{с} \) Найти: угол между \( \vec{v} \) и \( \vec{a} \). Решение: 1. Найдем скорость точки как производную от пути по времени: \[ v = S' = (3t)' = 3 \, \text{м/с} \] Так как скорость \( v = \text{const} \), то касательное ускорение равно нулю: \[ a_{\tau} = v' = 0 \] 2. Найдем нормальное ускорение: \[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{3^2}{1} = 9 \, \text{м/с}^2 \] 3. Поскольку касательное ускорение равно нулю, полное ускорение \( \vec{a} \) состоит только из нормального ускорения \( \vec{a}_n \). 4. Вектор скорости \( \vec{v} \) всегда направлен по касательной к окружности, а вектор нормального ускорения \( \vec{a}_n \) — по радиусу к центру. Угол между касательной и радиусом в любой точке окружности составляет \( 90^\circ \). Ответ: \( 90^\circ \). Вопрос 8. Дано: \( R = 2 \, \text{м} \) \( x_c = 2t^2 + 3 \) \( t_1 = 2 \, \text{с} \) Найти: \( \omega - ? \) Решение: 1. Найдем скорость центра колеса \( v_c \) как производную от координаты по времени: \[ v_c = x_c' = (2t^2 + 3)' = 4t \] 2. Вычислим значение скорости в момент времени \( t_1 = 2 \, \text{с} \): \[ v_c(2) = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{м/с} \] 3. При качении колеса без скольжения скорость центра колеса связана с его угловой скоростью соотношением: \[ v_c = \omega \cdot R \] Отсюда выразим угловую скорость: \[ \omega = \frac{v_c}{R} \] 4. Подставим численные значения: \[ \omega = \frac{8}{2} = 4 \, \text{рад/с} \] Ответ: 4.